Question

Sendo sen(x) = 1/2 com 0 < x < pi/2, calcule o valor de y = 2tg²(x) + sec²(x)?

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Vamos começar com uma "curiosidade":

Podemos chegar a tal fórmula através da relação fundamental da trigonometria:

$\sin {}^{2} x + \cos {}^{2} x = 1 \: \: \: \div \: \: \cos {}^{2} x \\ \\ \frac{ \sin {}^{2} x}{ \cos {}^{2} x } + \frac{ \cos {}^{2} x}{ \cos {}^{2} x } = \frac{1}{ \cos {}^{2} x} \\ \\ ( \frac{ \sin x}{ \cos x } ) {}^{2} + 1 = ( \frac{1}{ \cos x} ) {}^{2} \\ \\ (\tan x) {}^{2} + 1 = (\sec x){}^{2} \\ \\ \boxed{\tan {}^{2} x + 1 = \sec {}^{2} x }$

Vamos calcular o valor do cosseno através da relação fundamental:

$\sin {}^{2} x + \cos {}^{2} x= 1 \\ ( \frac{1}{2} ) {}^{2} + \cos {}^{2} x = 1 \\ \frac{1}{4} + \cos {}^{2} x = 1 \\ \cos {}^{2} x = 1 - \frac{1}{4} \\ \cos {}^{2} x = \frac{4 - 1}{4} \\ \cos {}^{2} x = \frac{3}{4} \\ \cos x = \pm \sqrt{ \frac{3}{4}} \\ \cos x = \pm \frac{ \sqrt{3} }{2}$

A questão fala que o "x" está no primeira quadrante, pois varia de 0° a 190°, ou seja, primeiro quadrante. Sabemos que o cosseno no primeiro quadrante é positivo, então vamos ficar apenas com o valor positivo.

$\boxed{\cos x = \frac{ \sqrt{3} }{2} }$

Sabendo o valor do cosseno e do seno podemos achar a tangente, já que:

$\boxed{\tan x = \frac{ \sin x }{ \cos x}}$

Substituindo:

$\tan x = \frac{ \frac{1}{ \cancel2} }{ \frac{ \sqrt{3} }{ \cancel2} } \\ \tan x = \frac{1}{ \sqrt{3} } \\ \tan x = \frac{1}{ \sqrt{3} } . \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } \\ \tan x = \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{9} } \\ \boxed{\tan x = \frac{ \sqrt{3} }{3}}$

Para finalizar é só substituir os valores na expressão fornecida pela questão.

$y = 2 \tan {}^{2} x + \sec {}^{2}x \\ \\ y = 2 ( \frac{ \sqrt{3} }{3} ) {}^{2} + \frac{1}{ \cos {}^{2}x } \\ \\ y = 2( \frac{ \sqrt{3} . \sqrt{3} }{3.3} ) + \frac{1}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } \\ \\ y = 2( \frac{ \sqrt{9} }{9} ) + \frac{1}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } \\ \\ y = 2( \frac{3}{9} ) + \frac{1}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } \\ \\ y = \frac{6}{9} + \frac{1}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } \\ \\ y = \frac{6}{9} + \frac{1}{1} . \frac{2}{ \sqrt{3} } \\ \\ y = \frac{6}{9} + \frac{2}{ \sqrt{3} } \\ \\ y = \frac{6 \sqrt{3} + 18}{9 \sqrt{3} } \\ \\ y = \frac{3( 2\sqrt{3} + 6)}{9 \sqrt{3} } \\ \\ y = \frac{2 \sqrt{3} + 6}{3 \sqrt{3} } \\ \\ y = \frac{2 \sqrt{3} + 6}{3 \sqrt{3} } . \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } \\ \\ y = \frac{2 \sqrt{3}. \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} }{3. \sqrt{3} . \sqrt{3} } \\ \\ y = \frac{2 \sqrt{9} + 6 \sqrt{3} }{3 \sqrt{9} } \\ \\ y = \frac{2.3 + 6 \sqrt{3} }{3.3} \\ \\ y = \frac{6 + 6 \sqrt{3} }{9} \\ \\ y = \frac{3.(2 + 2 \sqrt{3)} }{9} \\ \\ \boxed{y = \frac{2 + 2 \sqrt{3} }{3}}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️