Question

sendo sec x =7/3 determine o valor da cotg x

Answer 1

Caso esteja pelo app e tiver problemas para visualizar esta resposta, experimente abrir pelo navegador:  https://brainly.com.br/tarefa/8636572

——————————

Partimos da definição de cotangente:
   
                       cos x
     cotg x  =  ————
                       sen x
 

Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos
 
                          cos² x
     cotg² x  =  —————          mas  sen² x = 1 – cos² x
                          sen² x

                             cos² x
     cotg² x  =  ———————
                          1 – cos² x 


Sabemos que a secante é o inverso do cosseno. Então, podemos simplificar a expressão acima se multiplicarmos o numerador e o denominador por  sec² x:

                             cos² x · sec² x
     cotg² x  =  ———————————
                         (1 – cos² x) · sec² x

                               cos² x · sec² x
     cotg² x  =  —————————————
                         sec² x – cos² x · sec² x

                                 1
     cotg² x  =  ———————
                          sec² x – 1


Substituindo o valor conhecido para  sec x, obtemos

                                1
     cotg² x  =  ——————
                         (7/3)² – 1

                               1
     cotg² x  =  ———————
                            49
                         ———  –  1
                             9

                                    1
     cotg² x  =  —————————
                             49           9
                          ———  –  ——
                              9            9

                               1
     cotg² x  =  ——————
                              40
                           ———
                               9

                           9
     cotg² x  =  ———
                          40

                               3²
     cotg² x  =  ——————
                         2² · 2 · 5


Tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos,

                                  √(3²)
     cotg x  =  ±  ————————
                            √(2² · 2 · 5)

                                   √(3²)
     cotg x  =  ±  —————————
                            √(2²) · √(2 · 5)

                               3
     cotg x  =  ±  ————
                            2√10


O sinal da cotangente vai depender de qual quadrante pertence o arco  x. Como a secante é positiva, temos duas possibilidades para  x:

•   x  pertence ao  1º  quadrante:

Nesse caso, a cotangente é positiva:

                           3
     cotg x  =  ————          ✔
                        2√10


•   x  pertence ao  4º  quadrante:

Nesse caso, a cotangente é negativa:

                               3
     cotg x  =  –  ————          ✔
                            2√10


Bons estudos! :-)