Question

Sendo S1 o conjunto solução de (1/3)^(x²-x) > (1/3)² e S2 o conjunto solução de 1/9 < 9^(x-1) < 3^x, S1 intersecção S2 é igual

a) 0 < x <= 2
b) -1 < x < 2
c) -1 < x < = 2
d) 0 <= x < 2
e) 0 < x < 2

Answer 1

Se a base é maior que 1 o sentido da desigualdade se conserva e se a base está entre 0 e 1 se inverte.

${ \frac{1}{3} }^{ {x}^{2} - x} > { \frac{1}{3} }^{2} \\ {x}^{2} - x < 2 \\ {x}^{2} - x - 2 < 0$

Tomando f(x) =x²-x-2

a=1>0 → concavidade para ↑

∆=b²-4ac=(-1)²-4.1.(-2)=1+8=9

x=(-b±√∆)/2a

$x = \frac{ - ( - 1) ± \sqrt{9} }{2.1} = \frac{1±3 }{2}$

$x' = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ x'' = \frac{1 - 3}{2} = - \frac{2}{2} = - 1$

Estudo do sinal

f(x) >0 se x < -1 ou x>2 e

f(x) <0 se

-1<x<2

S₁={x∈lR/-1<x<2}

Na segunda inequação teremos uma inequação simultânea.

$\frac{1}{9} < {9}^{x - 1} < {3}^{x} \\ {9}^{x - 1} > \frac{1}{9} \\ {9}^{x - 1} < {3}^{x}$

Resolvendo a primeira dessas inequacões temos

${9}^{x - 1} > \frac{1}{9} \\ {9}^{x - 1} > {9}^{ - 1} \\ x - 1 > - 1 \\ x > 1 - 1 \\ x > 0$

Resolvendo a segunda inequação temos

${9}^{x - 1} < {3}^{x} \\ { ({3}^{2} )}^{x - 1} < {3}^{x} \\ {3}^{2x - 2} < {3}^{x}$

$2x - 2 < x \\ 2x - x < 2 \\ x < 2$

S₂={x∈lR/ 0<x<2}

S₁={x∈lR/-1<x<2}

S₂={x∈lR/ 0<x<2}

S₁∩S₂={x∈lR/ 0<x<2} alternativa e