Question

sendo r1 e r2 as raízes da equação $x^{2}$-x-5=0, então o valor da expressão $\frac{r1}{r2}$+$\frac{r2}{r1}$é

Answer 1

Olá

Como temos duas raízes, é comum que não saibamos qual é a primeira ou segunda (devido a muitos considerarem a primeira com radical antecedido de sinal negativo, outros não)

Mas como temos razões que a ordem não importaria, somente deveríamos substituir as raízes

Calcule as raízes, usando a fórmula de bháskara

$\mathtt{x=\dfrac{-b\pm\sqrt[2]{b^2-4ac}}{2a}}$

Substitua os coeficientes

$\mathtt{x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt[2]{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-5)}}{2\cdot 1}}$

Simplifique o radical e separe as raízes

$\mathtt{x=\dfrac{1\pm\sqrt[2]{21}}{2}}\\\\\\\ \mathtt{x=\dfrac{1+\sqrt[2]{21}}{2}}~~~~~~\mathtt{x=\dfrac{1-\sqrt[2]{21}}{2}}$

Logo, substitua-as no que foi pedido no enunciado

$\mathtt{\dfrac{\dfrac{1+\sqrt[2]{21}}{2}}{\dfrac{1-\sqrt[2]{21}}{2}}+\dfrac{\dfrac{1-\sqrt[2]{21}}{2}}{\dfrac{1+\sqrt[2]{21}}{2}}}$

Como os denominadores das frações são iguais, cancele-os

$\mathtt{\dfrac{\dfrac{1+\sqrt[2]{21}}{\not{2}}}{\dfrac{1-\sqrt[2]{21}}{\not{2}}}+\dfrac{\dfrac{1-\sqrt[2]{21}}{\not{2}}}{\dfrac{1+\sqrt[2]{21}}{\not{2}}}}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{1+\sqrt[2]{21}}{1-\sqrt[2]{21}}+\dfrac{1-\sqrt[2]{21}}{1+\sqrt[2]{21}}}$

Considerando incógnitas para simplificar o processo
$\begin{cases}z=1\\ c=\sqrt[2]{21}\\ \end{cases}$

Podemos usar

$\mathtt{\dfrac{(z+c)}{(z-c)}+\dfrac{(z-c)}{(z+c)}=\dfrac{2\cdot (z^2+c^2)}{z^2-c^2}}$

Substitua os valores

$\mathtt{\dfrac{2\cdot (1^2+[\sqrt[2]{21}]^2)}{1^2-(\sqrt[2]{21})^2}}$

Simplifique a potenciação

$\mathtt{\dfrac{2\cdot22}{-20}}$

Simplifique os valores por fator externo

$\mathtt{\dfrac{4\cdot 11}{4\cdot(-5)}}$

Simplifique a fração, lembrando que
$\boxed{\mathtt{\dfrac{x}{-y}=\dfrac{-x}{y}}}$

$\mathtt{\dfrac{\not{4}\cdot 11}{\not{4}\cdot(-5)}}\\\\\\ \mathbf{\dfrac{-11}{5}}$

Este é o valor da expressão

Answer 2

Olá!

${x}^{2} - x - 5 = 0$

Achando as raízes:

a = 1
b = - 1
c = - 5

/\ = (-1)² - 4 . 1 . (-5)
/\ = 1 + 20
/\ = 21

Não temos raiz de 21, mas prosseguimos deixando da seguinte maneira:

${x}^{1} = \frac{ - ( - 1) + \sqrt{21} }{2}$

${x}^{1} = \frac{1 + \sqrt{21} }{2}$

${x}^{2} = \frac{ - ( - 1) - \sqrt{21} }{2}$

${x}^{2} = \frac{1 - \sqrt{21} }{2}$

Agora iremos fazer as divisões, poderiamos montar a fração da fração e dividi-lá por 2, seria o mesmo precesso que o seguinte:

$\frac{ \frac{1 + \sqrt{21} }{2} }{ \frac{1 - \sqrt{21} }{2} } = \frac{1 + \sqrt{21} }{2} \div \frac{1 - \sqrt{21} }{2} = \frac{1 + \sqrt{21} }{1 - \sqrt{21} }$

Sendo assim, temos a seguinte soma de frações:

$\frac{ \frac{1 + \sqrt{21} }{2} }{ \frac{1 - \sqrt{21} }{2} } + \frac{ \frac{1 - \sqrt{21} }{2} }{ \frac{1 + \sqrt{21} }{2} } = \frac{1 + \sqrt{21} }{1 - \sqrt{21} } + \frac{1 - \sqrt{21} }{1 + \sqrt{21} }$

Devemos racionalizar os denominadores:

Multiplicamos a fração pelo "conjugado" do denominador, nada mais é do que mudar o sinal que o acompanha:

$\frac{1 + \sqrt{21} }{1 - \sqrt{21} } \times \ \frac{1 + \sqrt{21} }{1 + \sqrt{21} } = \frac{1 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + { \sqrt{21} }^{2} }{1 + \sqrt{21} - \sqrt{21} - \sqrt{21} ^{2} } = \frac{1 + 2 \sqrt{21} + 21}{1 - 21} = \frac{22 + 2 \sqrt{21} }{ - 20}$

$\frac{1 - \sqrt{21} }{1 + \sqrt{21} } \times \frac{1 - \sqrt{21} }{1 - \sqrt{21} } = \frac{1 - \sqrt{21} - \sqrt{21} + { \sqrt{21} }^{2} }{1 + \sqrt{21} - \sqrt{21} - { \sqrt{21} }^{2} } = \frac{1 - 2 \sqrt{21} + 21 }{1 - 21} = \frac{22 + 2 \sqrt{2} }{ - 20}$

Substituindo:

$\frac{22 + 2\sqrt{21} }{ - 20} + \frac{22 -2 \sqrt{21} }{ - 20}$

Não importa onde o sinal estiver, se no denominador ou numerador, ele equivale para a fração toda:

$- \frac{22 + 2 \sqrt{21} }{20} - \frac{22 - 2 \sqrt{21} }{20}$

Iremos dividir toda a equação por 2:

$- \frac{11 + \sqrt{21} }{10} - \frac{11 - \sqrt{21} }{10}$

Denominadores iguais, então permanece e apenas subtraimos os numeradores:

$-\frac{11 + \sqrt{21} + 11 - \sqrt{21} }{10}$

Soma e simplifica por 2:

$-\frac{22}{10} = -\frac{11}{5}$

Logo temos que:

$\frac{ {r}^{1} }{ {r}^{2} } + \frac{ {r}^{2} }{ {r}^{1} } = -\frac{11}{5}$