Question

Sendo Q o conjunto dos números racionais, mostre que √2∉Q.

Answer 1

Para o numero ser racional ele deve poder ser representado pela razao de dois inteiros.

Entao vamos assumir que √2 eh racional. entao ela pode ser representada pelos dois numeros inteiros cujo maior denominador comum eh 1, p e q:

p/q=√2
p²/q²=2
p²=2q²

Entao temos que o quadrado de p eh um numero par. O unico jeito de p² ser par eh se p for par. Porem se p for par entao p² nao eh apenas par, mas tb divisivel por 4. Entao o unico jeito da razao p²/q² ser 2 eh se q² tb for par. Se p e q forem par entao o maior denominador comum entre os dois nao pode ser 1 como previamente mencionado. Portanto por contradicao √2 eh irracional