Question

Sendo P(x) = x + 3x³ + 5x⁵ + 7x⁷ + 9x⁹ + ... + 999x⁹99, o resto da divisão de P(x) por (x - 1) é:

a) 249.500
b) 250.000
c) 250.500
d) 251.000
e) 251.500

Answer 1

 Olá Keymin,
para resolver o problema precisa saber que obtemos o resto calculando P(1). Ou seja, iguale o divisor a zero e substitua o valor encontrado no dividendo, veja:

 Igualando a zero:

$x-1=0\\x=1$
 
 
 Substituindo-o no dividendo:

$P(1)=1+3\cdot(1)^3+5\cdot(1)^5+7\cdot(1)^7+...999\cdot(1)^{999}\\\\P(1)=1+3+5+7+...+999$
 
   
 Cabe aqui aplicarmos o que aprendemos com a P.A, certo?!

 Segue,

$\begin{cases}a_1=1\\r=2\\a_n=999\\n=\\S_n=\end{cases}\\\\a_n=a_1+(n-1)r\\999=1+(n-1)2\\998=(n-1)2\\(n-1)=499\\\boxed{n=500}$


 Por fim,

$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\\\\S_n=\frac{(1+999)500}{2}\\\\S_n=1000\cdot 250\\\\\boxed{\boxed{S_n=250000}}$