Question

sendo P(x)=2x^4 -x³+x²+x+3 e Q(x)=x³+2x²-x+3,calcular: P(X) + Q(X)

Answer 1

Vamos lá.

Jenionline, como afirmamos nos comentários da sua questão, então vamos tentar resolver das duas formas: daremos a soma de p(x) + q(x) e depois procuraremos encontrar quais são as raízes dessa soma.
Vamos, portanto, tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) O enunciado da questão está escrito da seguinte forma:

"Sendo P(x)=2x^4 -x³+x²+x+3 e Q(x)=x³+2x²-x+3,calcular: P(X) + Q(X)".

ii) Vamos fazer a soma de p(x) + q(x). Assim, teremos:

p(x) + q(x) = (2x⁴ - x³ + x² + x + 3) + (x³ + 2x² - x + 3) --- retirando-se os parênteses para efetuar a soma pedida, teremos:

p(x) + q(x) = 2x⁴ - x³ + x² + x + 3 + x³ + 2x² - x + 3 ----- para facilitar a redução dos termos semelhantes, vamos juntar os termos que são semelhantes. Assim, teremos:

p(x) + q(x) = 2x⁴ -x³ + x³ + x² + 2x² + x - x + 3 + 3 ----- agora vamos fazer a redução dos termos semelhantes. Fazendo isso, teremos:

p(x) + q(x) = 2x⁴ + 0 + 3x² + 0 + 6 ---- ou apenas:
p(x) + q(x) = 2x⁴ + 3x² + 6 <--- Este é o resultado da soma de p(x)+q(x). Esta seria a resposta se a questão estiver pedindo apenas a soma de p(x)+q(x).

iv) Agora vamos encontrar quais são as raízes da soma de p(x) + q(x). Para isso, deveremos igualar essa soma a zero. Assim, faremos:

2x⁴ + 3x² + 6 = 0 --- veja que a soma de p(x)+q(x) resultou numa equação biquadrada. A forma mais prática para resolver equações biquadradas é fazer x² = y e resolvê-la como se fosse uma equação quadrática. Depois é que encontraríamos todas as demais raízes. Então vamos fazer x² = y. Fazendo isso, vamos ficar assim (veja: se x² = y, então 2x⁴ = 2y²):

2y² + 3y + 6 = 0 ---- vamos aplicar a fórmula de Bháskara, que é esta:

y = [-b ± √(Δ)]/2a ---- sendo Δ = b²-4ac. Assim:
y = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Agora veja que os coeficientes da sua questão [2y²+3y+6 = 0] são estes:

a = 2 --- (é o coeficiente de y²)
b = 3 --- (é o coeficiente de y)
c = 6 --- {é o coeficiente do termo independente).

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, acima, teremos:

y = [-3 ± √(3² - 4*2*6)]/2*2
y = [-3 ± √(9 - 48)]/4
y = [-3 ± √(-39)]/4

iv.1) Agora veja: se a questão pedir as raízes no âmbito dos números Reais, então você deve responder simplesmente que a questão não tem raízes reais, pois não existe raiz quadrada de números negativos. E assim, a resposta seria o conjunto vazio, que você expressaria assim:

S = ∅, ou S = { } <---- Ambos os modos de expressar o conjunto vazio são equivalentes.

iv.2) No entanto, se a questão pedir as raízes no âmbito dos números Complexos, então a resposta será outra e deveremos encontrar quais são as raízes complexas da soma de p(x) + q(x).
Para encontrar as raízes no âmbito dos complexos, vamos iniciar de onde paramos aí em cima, que foi nisto:

y = [-3 ± √(-39)]/4 ---- veja que √(-39) = √(39)*√(-1). Então ficaríamos assim:
y = [-3 ± √(39)*√(-1)]/4 ---- veja que, nos complexos,  √(-1) = i. Logo:
y = [-3 ± √(39)i]/4 --- ou, o que é a mesma coisa:
y = [-3 ± i√(39)]/4 ---- daqui você já conclui que:

y₁ = [-3 - i√(39)]/4
y₂ = [-3+i√(39)]/4

Mas veja que fizemos x² = y. Então teremos que:

iv.3) Para y₁ = [-3 - i√(39)]/4, teremos:

x² = [-3 - i√(39)]/4
x = ±√{[-3 - i√(39)]/4} ---- note que isto é equivalente a:
x = ± √[-3-i√(39)]/√(4) ---- como √(4) = 2, então ficaremos com:
x = ± √[-3-i√(39)]/2 ---- e daqui você já conclui que:

x₁ = - √[-3-i√(39)]/2
x₂ = √[-3-i√(39)]/2

iv.4) Para y₂ = [-3+i√(39)]/4, teremos:

x² = [-3+i√(39)]/4
x = ± √{[-3+i√(39)]/4} ---- como já vimos que, no fim, fica √(4) no denominador e considerando que √(4) = 2 (já vimos isto no item anterior), então ficaremos com:

x = ± √[-3+i√(39)]/2 ---- daqui você conclui que:

x₃ = - √[-3+i√(39)]/2
x₄ = √[-3+i√(39)]/2.

v) Assim, resumindo, temos que, no âmbito dos números complexos, as raízes da soma p(x) + q(x) serão estas:

x₁ = - √[-3-i√(39)]/2
x₂ = √[-3-i√(39)]/2
x₃ = - √[-3+i√(39)]/2
x₄ = √[-3+i√(39)]/2

Assim, as raízes da soma p(x) + q(x), no âmbito do conjunto dos números Complexos, são as quatro raízes que demos aí em cima.

Em todo o nosso desenvolvimento acima, você tem farta matéria para escolher a resposta conforme o que é pedido pela questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.