Question

Sendo p, q e r as raízes da equação abaixo e (2 + 3i) uma de suas raizes, então, o quadrado da soma de suas raizes é:

x³-x²+x+39=0

a) 1
b)49
c)9
d)16
e)81​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{a)~ 1}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos as relações de Girard.

Seja uma equação polinomial de grau 3: $ax^3+bx^2+cx+d=0$, tal que $a\neq0$.

Ao dividirmos ambos os lados da equação por $a$, teremos: $x^3+\dfrac{b}{a}x^2+\dfrac{c}{a}x+\dfrac{d}{a}$.

As relações de Girard nos garantem que, para esta equação de grau 3:

• A soma das raízes é dada por: $S_1=-\dfrac{b}{a}$.
• A soma dos produtos das raízes, duas a duas, é dada por: $S_2=\dfrac{c}{a}$.
• O produto das raízes é dado por: $P=-\dfrac{d}{a}$.

Sabemos que, dada a equação: $x^3-x^2+x+39=0$, uma de suas raízes é $2+3i$.

Buscamos o quadrado da soma de suas raízes.

Sendo $p,~q$ e $r$ as raízes desta equação, o que procuramos será: $(p+q+r)^2$.

Então, veja que existe uma relação de Girard para o que buscamos.

Ao analisarmos a equação, vemos que a soma das raízes será dada por: $p+q+r=-\left(-\dfrac{1}{1}\right)$

Multiplique os valores

$p+q+r=1$

Substituindo este resultado na expressão que buscamos, teremos:

$1^2$

Calcule a potência

$1$

Este é o resultado que buscávamos e é a resposta contida na letra a).

Veja que o que buscávamos é diferente da soma dos quadrados das raízes, sendo assim, esta é a resposta correta.