Question

Sendo p primo, p > 2, mostre que

Para todo a, b ∈ ℕ*,

Se p = a + b, então mdc(a, b) = 1.

Answer 1

Olá Lukyo


Sendo p primo, p > 2, mostre que

Para todo a, b ∈ ℕ*,

Se p = a + b, então mdc(a, b) = 1.

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Vamos provar por redução ao absurdo.

Supondo que o mdc de a e b seja maior que 1, e chamaremos esse mdc de d

mdc(a, b) = d   e  d > 1

Como d é o mdc de a e b, então d os divide e d será menor ou igual a a ou a b, ou seja: d ≤ min(a, b)

$\mathsf{\bullet}$ A notação min(x, y) retorna o menor número, ou seja, x ou y.

d | a   ⇔   dx = a
d | b   ⇔   dy = b

Se d divide a e d divide b, então d dividirá a soma entre eles

d | a + b  ⇔  d(x + y) = a + b

Mas a + b é igual a p que é primo, então d divide esse primo

d | p    ⇔     d(x + y) = p

Mas se d é maior que 1 e divide p que é primo, isso é um absurdo! Já que um número primo só pode ser divisível por 1 e ele mesmo, e sabemos que d é maior que 1 e também é menor ou igual a a ou a b, significa que d não poderia ser igual a p.

Utilizando notação algébrica, temos

d ≤ min(a, b) < p 

Portanto, se p = a + b, o mdc(a, b) = 1


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