Question

Sendo os vetores A = 3i - 1j - 2k e B = 2i+4j -1k Determine o módulo do produto vetorial.
0
3i -1j -4k
2i -2j -0k
9i-j+14k
0i -0j -5k

Answer 1

Resposta:

$\vec{A} \wedge \vec{B} = 9\vec{i} - 1\vec{j} +14\vec{k}$

Explicação:

Dado os vetores:

$\vec{A} = \begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}\text{ e }\vec{B} = \begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix} \text{ ent\~ao } \vec{A} \wedge \vec{B} = \text{?}$

Vou resolver desevolvendo essa matriz:

$\vec{A} \wedge \vec{B} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\3 & -1 & -2\\2 & 4 & -1\\\end{vmatrix} \longrightarrow \vec{i} \cdot \begin{vmatrix}-1 & -2\\4 & -1\\\end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix}3 & -2\\2 & -1\\\end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix}3 & -1 \\2 & 4\\\end{vmatrix}$

Fazendo os determinantes dessas matrizes 2x2 teremos as coordenadas do produto vetorial.

$\vec{i} \cdot \begin{vmatrix}-1 & -2\\4 & -1\\\end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix}3 & -2\\2 & -1\\\end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix}3 & -1 \\2 & 4\\\end{vmatrix}$

Então:

$\vec{i} \cdot 9 - \vec{j} +\vec{k} \cdot 14$

Ajustando temos:

$\vec{A} \wedge \vec{B} = 9\vec{i} - 1\vec{j} +14\vec{k}\\\\\therefore \vec{A} \wedge \vec{B} = \begin{pmatrix}9\\-1\\14\end{pmatrix}$

Esse é as coordenadas do nosso produto vetorial, sua norma seria:

$||\vec{A} \wedge \vec{B} || = \sqrt{9^2+(-1)^2+(14)^2} \\\\||\vec{A} \wedge \vec{B} || = \sqrt{81+1+196} \\\\||\vec{A} \wedge \vec{B} || = \sqrt{278}$

Qualquer dúvida respondo nos comentários!