Question

sendo os termos da sucessão u1 = 7, u2 = 17, u3 = 37 e u4 = 77, qual o termo geral?

Answer 1

Encontrar a fómula do termo geral da sequência

    $\mathsf{(u_n)=(7,\,17,\,37,\,77,\,\ldots)}$

com $\mathsf{n\in\{1,\,2,\,3,\,\ldots\}.}$

Vamos utilizar uma sequência auxiliar $\mathsf{(b_n),}$  cujos termos são dados pelas diferenças entre dois termos consecutivos da sequência inicial $\mathsf{(u_n):}$

    $\mathsf{b_n=u_{n+1}-u_n,\qquad com~n\in \{1,\,2,\,3,\,\ldots\}}\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad (b_n)=(u_2-u_1,\,u_3-u_2,\,u_4-u_3,\,\ldots)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad (b_n)=(17-7,\,37-17,\,77-37,\,\ldots)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad (b_n)=(10,\,20,\,40,\,\ldots)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad (b_n)=(10\cdot 2^0,\,10\cdot 2^1,\,10\cdot 2^2,\,\ldots)}$

Perceba que $\mathsf{(b_n)}$  é uma progressão geométrica, bujo primeiro termo é $\mathsf{b_1=10,}$  com razão $\mathsf{q=2.}$  Logo, a fórmula do termo geral para $\mathsf{(b_n)}$  é

    $\mathsf{b_n=b_1\cdot q^{n-1}}\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad b_n=10\cdot 2^{n-1}}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_{n+1}-u_n=10\cdot 2^{n-1}}$

com $\mathsf{n\in\{1,\,2,\,3,\,\ldots\}.}$

Agora, escreva os primeiros termos da sequência acima:

    $\quad \begin{array}{clcl} \Longrightarrow\quad &\mathsf{u_2-u_1}&\!\!=\!\!&\mathsf{10\cdot 2^0}\\ &\mathsf{u_3-u_2}&\!\!=\!\!&\mathsf{10\cdot 2^1}\\ &\mathsf{u_4-u_3}&\!\!=\!\!&\mathsf{10\cdot 2^2}\\ &\vdots\\ &\mathsf{u_{n+1}-u_n}&\!\!=\!\!&\mathsf{10\cdot 2^{n-1}} \end{array}$

Some termo a termo as igualdades acima. No lado esquerdo, haverá vários cancelamentos de termos opostos restando apenas

    $\mathsf{-u_1+u_{n+1}=10\cdot 2^0+10\cdot 2^1+10\cdot 2^2+\ldots + 10\cdot 2^{n-1}}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad -u_1+u_{n+1}=10\cdot (2^0+2^1+2^2+\ldots +2^{n-1})}$

No lado direito, apareceu exatamente a soma dos n primeiros termos da P.G. $\mathsf{(b_n).}$  Aplicando a fórmula da somas dos termos da P.G. ao lado direito, obtemos

     $\mathsf{-u_1+u_{n+1}=10\cdot \dfrac{2^n-1}{2-1}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad -u_1+u_{n+1}=10\cdot \dfrac{2^n-1}{1}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad -u_1+u_{n+1}=10\cdot (2^n-1)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_{n+1}=10\cdot (2^n-1)+u_1}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_{n+1}=10\cdot (2^n-1)+7}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_{n+1}=10\cdot 2^n-10+7}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_{n+1}=10\cdot 2^n-3}$

e portanto,

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_n=10\cdot 2^{n-1}-3\quad \longleftarrow\quad resposta.}$

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Bons estudos! :-)