Question

Sendo os pontos A (1, 3) e B (- 3 , 7). Determinar a equação geral da reta que passa pelo ponto médio do segmento AB e, pela intersecção das retas:
(r) 2x + y - 10 = 0 e (s) x - y - 2 = 0 .

Answer 1

A seguir, determinaremos a equação geral da reta solicitada pelo enunciado, calculando primeiramente o ponto médio de AB e posteriormente o ponto de intersecção das retas (r) e (s).

• Ponto Médio

Para calcular as coordenadas X e Y do ponto médio do segmento de extremidades A(1, 3) e B(-3,7), devemos calcular a média aritmética das coordenadas destes dois pontos.

Calculando o X do ponto médio:

$X_p=\dfrac{1-3}{2}=-1$

Calculando o Y do ponto médio:

$Y_p=\dfrac{3+7}{2}=5$

Logo, o ponto médio está em (-1, 5)

$\boxed{M(-1,\: 5)}$

• Ponto de Intersecção

Para calcular este ponto devemos utilizar o método da adição e solucionar o sistema formado pelas equações das duas retas:

$2x+y-10=0$

$x-y-2=0$

Utilizando o método em questão:

$2x+x+y-y-10-2=0+0$

$3x-12=0$

$3x=12$

$\boxed{x=4}$

Substituindo em qualquer uma das equações:

$2\cdot 4+y-10=0$

$8+y-10=0$

$y-2=0$

$\boxed{y=2}$

Logo, o ponto de intersecção é (4, 2)

$\boxed{I(4,\: 2)}$

• Equação Geral

Para chegar a geral, utilizaremos a equação reduzida da reta, cuja fórmula padrão é a seguinte:

$\boxed{y=m\cdot x+n}$

Para o ponto médio (-1, 5), temos:

$5=-m+n$

Isolando o N:

$n=5+m$

Para o ponto de intersecção (4,2), temos:

$2=4m+n$

Substituindo o valor de N encontrado anteriormente:

$2=4m+5+m$

$5m=2-5$

$\boxed{m=-\dfrac{3}{5}}$

Substituindo em qualquer equação:

$n=5-\dfrac{3}{5}$

$n=\dfrac{25-3}{5}$

$\boxed{n=\dfrac{22}{5}}$

Montando a equação reduzida:

$y=\dfrac{-3x+22}{5}$

Para encontrar a geral, só precisamos isolar tudo em um dos lados da equação:

$5y=-3x+22$

$\boxed{3x+5y-22=0}$

• Resposta

A equação geral da reta que passa pelo ponto médio de AB e pelo ponto de intersecção de (r) e (s) é a seguinte:

$\boxed{\boxed{3x+5y-22=0}}$

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