Question

Sendo o primeiro termo de uma PA igual a 12 e o segundo termo igual a 16, encontre:

a) sua razão
b) o seu 101° termo
c) a soma dos 101 primeiros termos dessa PA​

Answer 1

Vamos começar lembrando algumas coisas sobre as progressões aritméticas que nos ajudarão neste exercício e, depois, podemos calcular o que é pedido.

A razão de uma PA é dada pela diferença entre um termo qualquer e seu antecessor.

$\boxed{\sf r~=~a_n-a_{n-1}}$

Podemos também escrever/calcular um termo qualquer da PA em função de um termo já conhecido e de sua razão utilizando o termo geral da PA

$\boxed{\sf a_n~=~a_{m}+(n-m)\cdot r}$

No entanto, comumente, termo geral é dado em função do primeiro termo da PA (a₁), isto é:

$\boxed{\sf a_n~=~a_{1}+(n-1)\cdot r}$

Por último, a soma de termos de uma PA pode ser calculada por:

$\boxed{\sf S_n~=~\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}$

a)

Utilizando o primeiro e o segundo termo da PA, podemos calcular sua razão:

$\sf r~=~a_2-a_1\\\\r~=~16-12\\\\\boxed{\sf r~=~4}$

b)

Com a razão calculada no item anterior e o primeiro termo da Pa, podemos determinar o valor do 101° termo utilizando a expressão do termo geral:

$\sf a_{101}~=~a_1+(101-1)\cdot 4\\\\a_{101}~=~12+100\cdot 4\\\\a_{101}~=~12+400\\\\\boxed{\sf a_{101}~=~412}$

c)

Substituindo na expressão da soma de termos o valor do 1° e do último termo (a₁₀₁), poderemos calcular o somatório dos 101 primeiros termos dessa PA:

$\sf S_{101}~=~\dfrac{(a_1+a_{101})\cdot 101}{2}\\\\\\S_{101}~=~\dfrac{(12+412)\cdot 101}{2}\\\\\\S_{101}~=~\dfrac{424\cdot 101}{2}\\\\\\S_{101}~=~212\cdot 101\\\\\\\boxed{\sf S_{101}~=~21412}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$