Question

Sendo ( n ) um número natural, quando que n⁴+4 é primo?

Answer 1

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Enunciado:

Sendo n um número natural, para quais valores de n, n⁴+4 é primo?

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Solução:

Certamente há mais de uma forma de resolver esta tarefa. A mais simples consiste em tentar fatorar a expressão. Vejamos:

$\mathsf{n^4+4}\\\\ =\mathsf{(n^2)^2+2^2}$


Para completar um trinômio quadrado perfeito, vamos somar e subtrair $\mathsf{4n^2},$ e a expressão fica

$=\mathsf{(n^2)^2+2^2+4n^2-4n^2}\\\\ =\mathsf{(n^2)^2+4n^2+2^2-4n^2}\\\\ =\mathsf{\big[(n^2)^2+2\cdot n^2\cdot 2+2^2\big]-(2n)^2}\\\\ =\mathsf{(n^2+2)^2-(2n)^2}\\\\ =\mathsf{(n^2+2)^2+2n(n^2+2)-2n(n^2+2)-(2n)^2}$

$=\mathsf{(n^2+2)\big[(n^2+2)+2n\big]-2n\big[(n^2+2)+2n\big]}\\\\ =\mathsf{\big[(n^2+2)+2n\big]\cdot \big[(n^2+2)-2n\big]}\\\\ =\mathsf{(n^2+2n+2)\cdot (n^2-2n+2)}\\\\ =\mathsf{(n^2+2n+1+1)\cdot (n^2-2n+1+1)}\\\\ =\mathsf{\big[(n^2+2n+1)+1\big]\cdot \big[(n^2-2n+1)+1\big]}$


$\therefore~~\mathsf{n^4+4=\big[(n+1)^2+1\big]\cdot \big[(n-1)^2+1\big]\qquad\quad(i)}$

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Um número natural só é primo se este possuir apenas dois divisores, sendo que exatamente um deles deve ser igual a 1.

Observando a expressão $\mathsf{(i)},$ percebemos que

$\mathsf{(n+1)^2+1}$  e  $\mathsf{(n-1)^2+1}$

são divisores de $\mathsf{n^4+4.}$


Como queremos que esta expressão seja um número primo, exatamente um desses dois divisores deve ser igual a $\mathsf{1}$, para $\mathsf{n}$ natural.


•   1ª possibilidade.  $\mathsf{(n+1)^2+1=1:}$

$\mathsf{(n+1)^2=0}\\\\ \mathsf{n+1=0}\\\\ \mathsf{n=-1\not \in \mathbb{N}}\quad\textsf{(n\~ao serve)}\qquad\quad\diagup\!\!\!\!\!\diagdown$


•   2ª possibilidade.  $\mathsf{(n-1)^2+1=1:}$

$\mathsf{(n-1)^2=0}\\\\ \mathsf{n-1=0}\\\\ \mathsf{n=1\in \mathbb{N}}\qquad\quad\checkmark$


e esta é a única possibilidade para $\mathsf{n},$ de modo que  $\mathsf{n^4+4}$  seja primo.

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De fato, substituindo no lado direito de $\mathsf{(i)},$ obtemos

$\mathsf{\big[(n+1)^2+1\big]\cdot \big[(n-1)^2+1\big]}\\\\ =\mathsf{\big[(1+1)^2+1\big]\cdot \big[(1-1)^2+1\big]}\\\\ =\mathsf{\big[2^2+1\big]\cdot \big[0^2+1\big]}\\\\ =\mathsf{\big[4+1\big]\cdot \big[0+1\big]}\\\\ =\mathsf{5\cdot 1}\\\\ =\mathsf{5}$


e $\mathsf{5}$ é primo.            $\checkmark$


Resposta:   $\mathsf{n=1.}$


Bons estudos! :-)


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