Question

Sendo n um numero natural qualquer qual é o resto da divisão de $5x^{2n} - 4x^{2n + 1} - 2\ \ \ por\ \ x+1\ ?$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

• $\sf x\equiv(-1)~\pmod{x+1}$

$\sf x^{2n}\equiv(-1)^{2n}~\pmod{x+1}$

$\sf x^{2n}\equiv1~\pmod{x+1}$

$\sf 5x^{2n}\equiv5\cdot1\pmod{x+1}$

$\sf 5x^{2n}\equiv5~\pmod{x+1}$

Analogamente:

• $\sf x\equiv(-1)\pmod{x+1}$

$\sf x^{2n+1}\equiv(-1)^{2n+1}~\pmod{x+1}$

$\sf x^{2n+1}\equiv(-1)~\pmod{x+1}$

$\sf 4x^{2n+1}\equiv4\cdot(-1)~\pmod{x+1}$

$\sf 4x^{2n+1}\equiv(-4)~\pmod{x+1}$

Logo:

$\sf 5x^{2n}-4x^{2n+1}-2\equiv5-(-4)-2~\pmod{x+1}$

$\sf 5x^{2n}-4x^{2n+1}-2\equiv5+4-2~\pmod{x+1}$

$\sf 5x^{2n}-4x^{2n+1}-2\equiv7~\pmod{x+1}$

O resto é $\sf 7$