Question

Sendo n um número natural, a expressão $\frac{( 2^{n+1} + 2^{n+2}) . ( 3^{n+2}- 3^{n+1}) }{ 6^{n+2} }$ é igual a
a) 1
b) $3^{n}$
c) $2^{n}$
d) $6^{n}$
e) 6

Answer 1

$\dfrac{\left(2^{n+1}+2^{n+2}\right)\cdot\left(3^{n+2}-3^{n+1}\right)}{6^{n+2}}=\dfrac{\left2^{n+1}(1+2\right)\cdot3^{n+1}\left(3-1\right)}{2^{n+2}\cdot3^{n+2}}=\\\\\\\dfrac{\left2^{n+1}\cdot3\cdot3^{n+1}\cdot2}{2^{n+2}\cdot3^{n+2}}=\dfrac{\left2^{n+2}\cdot3^{n+2}}{2^{n+2}\cdot3^{n+2}}=1$

Answer 2

A expressão dada no enunciado é igual a 1.

Para resolver a expressão devemos utilizar as propriedades da potenciação, são elas:

1. xᵃ⁺ᵇ = xᵃ.xᵇ
2. xᵃ⁻ᵇ = xᵃ/xᵇ
3. xᵃ.yᵃ = (x.y)ᵃ

Dada a expressão do enunciado, podemos escreve-la da seguinte forma:

(2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²).(3ⁿ⁺² - 3ⁿ⁺¹)/6ⁿ⁺² = (2ⁿ.2¹ + 2ⁿ.2²)(3ⁿ.3² - 3ⁿ.3¹)/6ⁿ.6²

Colocando 2ⁿ e 3ⁿ em evidência, temos:

2ⁿ(2+4).3ⁿ(9-3)/36.6ⁿ = 2ⁿ.3ⁿ.36/36.6ⁿ = 2ⁿ.3ⁿ/6ⁿ

Utilizando a terceira propriedade, temos:

2ⁿ.3ⁿ/6ⁿ = (2.3)ⁿ/6ⁿ = 6ⁿ/6ⁿ = 1

Resposta: A