Question

Sendo N/(7 elevado a A) igual a um número inteiro e N o produto dos 60 primeiros nùmeros inteiros a partir de 1, qual o maior valor inteiro de A? 

Answer 1

Como N é o produto de todos os números naturais menores que 60 tu tem que N é uma coisa mais ou menos assim:

N = 1.2.(...).6.7.8.(...).13.14.(...).21.(...).28.(...).35.(...).42.(...).49.(...).56.57.58.59.60

Observe que os números em negrito são todos os múltiplos de 7 menores que 60. Fatorando-os:

7 = 7.1                                            35 = 7.5
14 = 7.2                                          42 = 7.6
21 = 7.3                                          49 = 7.7
28 = 7.4                                          56 = 7.8

Calculando o produto de todos eles teremos algo como $7^9.k$, onde esse k é um inteiro que não é múltiplo de 7. Daí o N será algo do tipo $7^9.m$, onde esse m é um inteiro que, também, não nos interessa, pois não é múltiplo de 7.
Substituindo teremos:

$\frac{N}{7^A} = \frac{7^9.m}{7^A} \Rightarrow \frac{N}{7^A} = 7^{9-A}.m$

Como queremos que essa fração seja inteira não poderemos ter $9-A<0$, pois o expoente do 7 ficaria negativo, gerando uma fração, que não é número natural. Daí precisamos que:

$9-A \geq 0 \Rightarrow \boxed{\boxed{A \leq 9}}$