Question

Sendo, m+n = -2 e a/b =2, pode-se afirmar que a expressão é (a+ 1/b)*m . (a - 1/b)*n/ (b+ 1/a)*m . (b- 1/a)*n igual a

a)1/2

b)1/4

c)0

d)4

e)2

Answer 1

Primeiro tentamos simplificar a expressão dada de forma a fazer os termos (m+n) e a/b aparecerem para que possamos substituí-los pelos valores dados.

$\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\cdot m \cdot \left(a-\dfrac{1}{b}\right)\cdot n}{\left( b+ \dfrac{1}{a}\right)\cdot m \left( b- \dfrac{1}{a}\right)\ \cdot n}$

Por se tratar de uma multiplicação de vários termos tanto no numerador quanto no denominador, podemos simplificar cortando os "m" e "n".

$\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{b}\right) \cdot \left(a-\dfrac{1}{b}\right)}{\left( b+ \dfrac{1}{a}\right)\cdot \left( b- \dfrac{1}{a}\right)}$

Observe que ficamos com um produto notável da soma pela diferença.

$\dfrac{ \left(a^2-\dfrac{1}{b^2}\right)}{\left( b^2- \dfrac{1}{a^2}\right)}$

Fazemos o mmc para juntar os termos em apenas uma fração.

$\dfrac{ a^2-\dfrac{1}{b^2}}{ b^2- \dfrac{1}{a^2}} = \dfrac{ \dfrac{a^2b^2-1}{b^2}}{\dfrac{a^2b^2-1}{a^2}\right)}$

E por fim fazemos a divisão de frações, conservando a primeira fração e multiplicando pelo inverso da segunda.

$\dfrac{a^2b^2-1}{b^2} \cdot \dfrac{a^2}{a^2b^2-1}\right)$

Observe que o numerador da primeira fração é igual ao denominador da segunda, podendo assim ser simplificado.

$\dfrac{a^2b^2-1}{b^2} \cdot \dfrac{a^2}{a^2b^2-1}\right) = \dfrac{a^2}{b^2}$

Agora podemos substituir os valores dados no exercício.

$\dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} = 2.2 = 4$

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