Question

Sendo log 5 M = 2 · log 5 A – log 5 B + 2, m é igual a:

resposta: B

Answer 1

O valor de M na expressão $\log_5(M)=2\cdot\log_5(A)-\log_5(B)+2$ pode ser dado como

$\boxed{M=\dfrac{25\cdot A^2}{B} }$

Alternativa B)

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos a seguinte equação Logarítmica

$\log_5(M)=2\cdot\log_5(A)-\log_5(B)+2$

Antes de começarmos a mexer nela é bom temos em mente algumas Propriedades dos logaritmos

• LOGARITMOS COM POTÊNCIA

   

  $A\cdot \log_B(C)=\log_B(C^A)$

• SOMA DE LOGARITMOS DA MESMA BASE

  $Log_A(B)+Log_A(C)= Log_A(B\cdot C)$

• SUBTRAÇÃO DE LOGARITMOSS DA MESMA BASE

   $Log_A(B)-Log_A(C)= Log_A\left(\dfrac{B}{C} \right)$

• PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DO LOGARITMOS

$LOG_A(B)=C\Rightarrow A^C=B$

• IGULDADE DE LOGARITMOS DA MESMA BASE

   $Log _X\left(A\right)=Log _X\left(B\right)\Rightarrow A=B$

Com isso em mente vamos resolver a questão

$\log_5(M)=2\cdot\log_5(A)-\log_5(B)+2$

Antes de começarmos perceba que todos os Logs estão na base 5  com exceção do 2

Se ele estiver na base 5 nossa questão fica bem mais de fácil então vamos por ele na base 5

$Log_5(X)=2\\\\5^2=X\\\\25=X\\\\\boxed{Log_5(25)=2}$

então podemos reescrever a expressão como

$\log_5(M)=2\cdot\log_5(A)-\log_5(B)+2\\\\\boxed{\log_5(M)=2\cdot\log_5(A)-\log_5(B)+\log_5(25)}$

Agora que todos estão na base 5 fica tudo mais fácil

Vamos começar usando a propriedade   da potência de Logs $A\cdot \log_B(C)=\log_B(C^A)$

$\log_5(M)=2\cdot\log_5(A)-\log_5(B)+\log_5(25)\\\\\boxed{\log_5(M)=\log_5(A^2)-\log_5(B)+\log_5(25)}$

Agora vamos usar a soma e subtração dos logaritmos de mesma base$Log_A(B)+Log_A(C)= Log_A(B\cdot C)$ e $Log_A(B)-Log_A(C)= Log_A(B\cdot C)$

$\log_5(M)=\log_5(A^2)-\log_5(B)+\log_5(25)}\\\\\\\log_5(M)=\log_5(A^2)+\log_5(25)-\log_5(B)\\\\\\\log_5(M)=\log_5(A^2\cdot 25)-\log_5(B)\\\\\\\boxed{\log_5(M)=\log_5\left(\dfrac{A^2\cdot 25}{B}\right) }$

Agora temos uma igualdade de Logs da mesma base isso quer dizer que seus logaritmandos também são os mesmos  $Log _X\left(A\right)=Log _X\left(B\right)\Rightarrow A=B$

$\log _5\left(M\right)=\log _5\left(\dfrac{A^2\cdot \:25}{B}\right)\\\\\\\boxed{M=\dfrac{A^2\cdot 25}{B} }$

Assim encontramos o valor de M

Olhando as alternativas veja que não tem nenhuma exatamente igual ao que encontramos. Porem, se vc presta atenção a alternativa B é exatamente o mesmo valor que encontramos

So muda a ordem entre os fatores da multiplicação o que não muda em nada o resultado

$A\cdot B= B\cdot A$

$\boxed{M=\dfrac{A^2\cdot 25}{B} \Rightarrow M=\dfrac{25\cdot A^2}{B}}$

Logo podemos concluir que a alternativa B é a resposta correta.

• Calculo formais:

$\log_5(M)=2\cdot\log_5(A)-\log_5(B)+2\\\\\log_5(M)=2\cdot\log_5(A)-\log_5(B)+\log_5(25)\\\\\log_5(M)=\log_5(A^2)-\log_5(B)+\log_5(25\\\\\\\log_5(M)=\log_5(A^2)+\log_5(25)-\log_5(B)\\\\\\\log_5(M)=\log_5(A^2\cdot 25)-\log_5(B)\\\\\\log_5(M)=\log_5\left(\dfrac{A^2\cdot 25}{B}\right)\\\\\\M=\dfrac{A^2\cdot 25}{B}$

$\boxed{M=\dfrac{25\cdot A^2}{B} }$

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