Question

Sendo log 5 = 0,7 e log 7 = 0,8 calcule : ( obs: lembre-se de escrever na base 10)


$log_{5}7 =$
$log_{25}49 =$
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Answer 1

Neste exercício, vamos utilizar a propriedade logarítmica da troca de base e a propriedade do logaritmo do produto, ambas mostradas abaixo.

$\sf Propriedade~da~Troca~de~Base:~~\boxed{\sf \log_ba=\dfrac{\log_ca}{\log_cb}}\\\\\\Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~~\boxed{\sf \log_b(a\cdot c)=\log_ba+\log_bc}$

a)

$\sf Aplicando~a~troca~de~base,~vamos~reescrever~o~logaritmo~como~o~quociente\\entre~dois~logaritmos~de~base~10:\\\\\\\log_57~=~\dfrac{\log7}{\log5}\\\\\\Substituindo~o~valor~dos~logaritmos~conhecidos:\\\\\\\log_57~=~\dfrac{0,8}{0,7}\\\\\\\boxed{\sf \log_57~=~\dfrac{8}{7}}~~ou~~\boxed{\sf \log_57~\approx~1,143}$

b)

$\sf Aplicando~a~troca~de~base,~vamos~reescrever~o~logaritmo~como~o~quociente\\entre~dois~logaritmos~de~base~10:\\\\\\\log_{25}49~=~\dfrac{\log49}{\log25}\\\\\\Fatorando~os~logaritmandos~25~e~49:\\\\\\\log_{25}49~=~\dfrac{\log\,(7\cdot 7)}{\log\,(5\cdot 5)}\\\\\\Aplicando~agora~a~propriedade~do~logaritmo~do~produto:\\\\\\\log_{25}49~=~\dfrac{\log7+\log7}{\log5+\log5}\\\\\\Substituindo~o~valor~dos~logaritmos~conhecidos:\\\\\\\log_{25}49~=~\dfrac{0,8+0,8}{0,7+0,7}$

$\sf \log_{25}49~=~\dfrac{1,6}{1,4}\\\\\\\log_{25}49~=~\dfrac{16}{14}\\\\\\\boxed{\sf\log_{25}49~=~\dfrac{8}{7}}~~ou~~\boxed{\sf \log_{25}49~\approx~1,143}$

Como pudemos ver,  log₅7 = log₂₅49

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$