Question

Sendo

log 2 = 0,3; log 3 = 0,4

e

log 5 = 0,7,

calcule:

a)

log2 50
b)

log3 45

c)

log9 2
d)

log8 600

e)

log5 3
f)

log6 15

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Matheus, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Foram dados que: log₁₀ (2) = 0,3; que log₁₀ (3) = 0,4; que log₁₀ (5) = 0,7 . A partir dessas informações é pedido para determinar o valor dos seguintes logaritmos, que vamos, chamar cada um deles de um certo "x" apenas para deixá-los igualados a alguma coisa:

a) x = log₂ (50) ----- vamos passar para a base "10". Para isso, basta que façamos isto:

x = log₁₀ (50) / log₁₀ (2) ----- como já vimos que log₁₀ (2) = 0,3 , então já poderemos fazer essa substituição, com o que ficaremos assim:

x = log₁₀ (50) / 0,3 ---- agora note que 50 = 2 * 5² . Assim, substituindo teremos:

x = log₁₀ (2 * 5²) / 0,3 ---- transformando o produto em soma, teremos:

x = [log₁₀ (2) + log₁₀ (5²)] / 0,3 ----- passando o expoente "2" multiplicando o respectivo log, teremos:

x = [log₁₀ (2)  + 2log₁₀ (5)] / 0,3 ---- fazendo as devidas substituições, teremos:

x = [0,3  + 2*0,7] / 0,3 ----- desenvolvendo, teremos:

x = [0,3 + 1,4] / 0,3 ---- continuando o desenvolvimento, temos:

x = [1,7]/0,3 ---- ou apenas:

x = 1,7/0,3 ---- note que esta divisão dá 5,6666...... ou arredondando fica "5,67". Assim:

x = 5,67 <--- Esta é a resposta para o item "a".

b) x = log₃ (45) ---- utilizando o mesmo raciocínio da questão anterior, vamos passar para a base "10", ficando:

x = log₁₀ (45) / log₁₀ (3) ---- como já sabemos que log₁₀ (3) = 0,4  , então já poderemos substituir, com o que ficaremos:

x = log₁₀ (45) / 0,4 ---- veja que 45 = 3² * 5 . Assim, substituindo, teremos:

x = log₁₀ (3² * 5) ---- transformando o produto em soma, teremos:

x = [log₁₀ (3²) + log₁₀ (5)] / 0,4 ---- passando o expoente "2'' multiplicando o respectivo log, teremos:

x = [2log₁₀ (3) + log₁₀ (5)] / 0,4 ---- fazendo as devidas substituições, teremos;

x = [2*0,4 + 0,7] / 0,4 ---- desenvolvendo, temos:

x = [0,8 + 0,7] / 0,4 ---- continuando o desenvolvimento, ficamos com:

x = 1,5 / 0,4 --- note que esta divisão dá exatamente "3,75". Logo:

x = 3,75 <--- Esta é a resposta para o item "b".

c) x = log₉ (2) ------- passando para a base 10, teremos:

x = log₁₀ (2) / log₁₀ (9) ----- note que 9 = 3². Assim, teremos;

x = log₁₀ (2) / log₁₀ (3²) ---- passando o expoente "2" multiplicando o respectivo log, teremos:

x = log₁₀ (2) / 2log₁₀ (3) ---- fazendo as devidas substituições, teremos:

x = 0,3 / 2*0,4 ---- desenvolvendo, teremos:

x = 0,3 / 0,8 ---- note que esta divisão dá "0,375". Logo:

x = 0,375 <--- Esta é a resposta para o item "c".

d) x = log₈ (600) ------ passando para a base 10, teremos;

x = log₁₀ (600) / log₁₀ (8) ---- note que 600 = 2³*3*5²; e 8 = 2³. Assim, ficaremos;

x = log₁₀ (2³ * 3 * 5²) / log₁₀ (2³) ---- transformando o produto em soma, teremos;

x = [log₁₀ (2³) + log₁₀ (3) + log₁₀ (5²)] / log₁₀ (2³) ---- pasando cada expoente multiplicando os respectivos logs, teremos;

x = [3log₁₀ (2) + log₁₀ (3) + 2log₁₀ (5)] / 3log₁₀ (2) ---- fazendo as devidas substituições, teremos:

x = [3*0,3 + 0,4 + 2*0,7] / 3*0,3 ---- desenvolvendo, teremos;

x = [0,9 + 0,4 + 1,4] / 0,9 ----- desenvolvendo, teremos:

x = 2,7 / 0,9 ---- efetuando esta divisão, teremos:

x = 3 <--- Esta é a resposta para o item "d".

e) x = log₅ (3) ----- passando para a base 10, teremos:

x = log₁₀ (3) / log₁₀ (5) ----- fazendo as devidas substituições, teremos;

x = 0,4 / 0,7 ----- veja que esta divisão dá "0,57" (bem aproximado). Logo:

x = 0,57 <--- Esrta é a resposta para o item "e".

f) x = log₆ (15) ------ passando para a base 10, teremos:

x = log₁₀ (15) / log₁₀ (6) ------ veja que 15 = 3*5; e 6 = 2*3. Assim, ficaremos:

x = log₁₀ (3*5) / log₁₀ (2*3) ---- transformando cada produto em soma, teremos:

x = [log₁₀ (3) + log₁₀ (5)] / [log₁₀ (2) + log₁₀ (3)] ---- fazendo as devidas substituições, temos:

x = [0,4 + 0,7] / [0,3 + 0,4] ---- desenvolvendo, temos:

x = 1,10 / 0,7 ---- veja que esta divisão dá "1,57" (bem aproximado). Logo:

x = 1,57 <--- Esta é a resposta para o item "f".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.