Question

Sendo LaTeX: z=-2-2iz=−2−2i, determine LaTeX: z^8z8.

Answer 1

Para essa questão, podemos utilizar a 1ª fórmula de Moivre:

$z^n=|z|^n(cos(n.\theta) + i.sen(n.\theta))$.

Sendo z = -2 - 2i, temos que a = -2 e b = -2.

Assim,

$|z|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}$

|z| = 2√2.

Agora, vamos calcular os argumentos:

$cos(\theta) = \frac{-2}{2\sqrt{2}}$

$cos(\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

e

$sen(\theta) = \frac{-2}{2\sqrt{2}}$

$sen(\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Então, podemos concluir que o ângulo é igual a $\theta = \frac{3\pi}{4}$.

Substituindo os dados na fórmula dada inicialmente, obtemos:

$z^8=(2\sqrt{2})^8(cos(8.\frac{3\pi}{4})+i.sen(8.\frac{3\pi}{4}))$

z⁸ = 4096(cos(6π) + i.sen(6π))

Portanto,

z⁸ = 4096.