Question

Sendo i a unidade imaginaria, simplifique:

i¹+i²+³...+i^(n)+...+i^(2013) ?

Answer 1

E ai Aline beleza?

Veja que a sequência está formando uma PG de razão i certo?

Assim essa soma pode ser escrita como: $S_{2013}= \frac{i(i^{2013}-1)}{i-1}=$

Mas veja que
$i^1=i^5=i^9=...=i^{4n+1}=i$
$i^2=i^6=i^{10}=...=i^{4n+2}=-1$
$i^3=i^7=i^{11}=...=i^{4n+3}=-i$
$i^4=i^8=i^{12}=...=i^{4n}=1$

Quando dividimos 2013 por 4 teremos: 2013 = (4 x 503) + 1, ou seja $i^{2013}=i^{4n+1}=i$

Assim teremos: $S_{2013}=\frac{i(i-1)}{(i-1)}$

Logo, $S_{2013}=i$