Question

Sendo i a unidade imaginária, o valor de y=i+i²+i³...+i^502/i+i²+i³...+i^103 é...(??)

Answer 1

Se você notar:

$i^1 = i \\ i^2 = \sqrt[2]{-1}^{2} = -1 \\ i^3 = i^2 \cdot i^1 = (-1) \cdot i = -i \\ i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = +1$

Então:

$i + i^2 + i^3 + i^4 = i -1 -i + 1 = 0$

Ou seja, a soma a cada 4 termos se anula, então nós não precisamos calcular a soma toda até o expoente 502, basta calcular os últimos termos.

Note que:

$i^1 = i^5 = i^9 = i^{13} = i \\ i^2 = i^6 = i^{10} = i^{14} = -1 \\ i^3 = i^7 = i^{11} = i^{15} = -i \\ i^4 = i^8 = i^{12} = i^{16} = +1$

Então, nós só precisamos saber qual o múltiplo de 4 mais próximo de 502. Não é necessário muito raciocínio para ver que o mais próximo é o 500. No 500 a soma se anulou pela última vez. Logo:

$i^{501} + i^{502} = i^1 + i^2 = (i -1)$

Agora, no denominador, o múltiplo de 4 mais próximo foi o 100, então a partir do 101 precisamos considerar:

$i^{101} + i^{102} + i^{103}= i^1 + i^2 + i^3 = i -1 -i = -1$

Logo a razão será:

$\frac{(i - 1)}{-1} = (1 - i)$