Question

Sendo i a unidade imaginaria o valor de i¹³+i¹⁰⁰ é:

Answer 1

$i = \sqrt{-1} \\i^2 = -1\\\\i^{13} + i^{100}\\= (i^2)^6 \cdot i + (i^2)^{50}\\= (-1)^6i + (-1)^{50}$

Como a potência é par, o negativo é multiplicado uma quantidade par de vezes, portanto resultando em positivo:

$= 1i + 1\\= i + 1$

Que, se você desejar, pode ser escrito também como:

$\sqrt{-1} + 1$

Answer 2

✅  Após resolver os cálculos, concluímos que o resultado da soma entre os referidos números complexos é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf z_{1} + z_{2} = i + 1\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

       $\Large\begin{cases} z_{1} = i^{13}\\z_{2} = i^{100}\\ z_{1} + z_{2} = \:?\end{cases}$

Para calcular a soma desses números complexos devemos lembrar que:

           $\Large\begin{cases} i^{0} = 1\\i^{1} = i\\i^{2} = -1\\i^{3} = -i\end{cases}$

Observe que o expoente de "i" maior ou igual a 4, sempre pode ser reduzido a um expoente inteiro. Para isso, basta dividir o expoente por "4" e tomar o resto da divisão.  Neste caso, temos:

• Para z1:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} z_{1} = i^{13} \end{gathered}$

       Então, o resto da divisão de 13 por 4 é "1".

       Desta forma:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} z_{1} = i^{13} =i^{1} = i\end{gathered}$

• Para z2:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} z_{2} = i^{100}\end{gathered}$

        Então, o resto da divisão de 100 por 4 é "0".

        Desta forma, temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} z_{2} = i^{100} = i^{0} = 1\end{gathered}$

Portanto:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} z_{1} + z_{2} = i^{13} + i^{100}= i^{1} + i^{0} = i + 1 \end{gathered}$

✅ Portanto, a soma dos números complexos é:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} z_{1} + z_{2} = i + 1\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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