Question

Sendo i=√-1 a unidade imaginária e dado o polinômio p(x) = x4 + 5x3 + 7x2 + 5x + 6, observe que p(i) = 0. Esse polinômio tem duas raízes reais que pertencem ao conjunto dos números
(A) naturais.
(B) irracionais positivos.
(C) racionais não inteiros e positivos.
(D) inteiros negativos.
(E) racionais não inteiros e negativos

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{D}}$

Explicação passo-a-passo:

De acordo com o enunciado, $\mathtt{i}$ é uma das raízes do polinômio $\displaystyle \mathtt{P(x)}$.

Para solucionar a questão, precisa saber que: se uma equação admite uma raiz complexa, então admitirá também o conjugado desse número (complexo) como solução. Neste caso, uma vez que $\displaystyle \mathtt{i}$ é uma raiz, temos que $\displaystyle \mathtt{(- i)}$. também é uma raiz do polinômio $\displaystyle \mathtt{P(x)}$.

Isto posto, $\displaystyle \mathtt{(x - i) \cdot (x + i) \mid P(x)}$. Noutras palavras, a divisão de $\displaystyle \mathtt{P(x)}$ por $\displaystyle \mathtt{(x - i)(x + i)}$ tem resto zero!

Por conseguinte, dividimos...

x^4 + 5x³ + 7x² + 5x + 6 | x² + 1

__________________| x² + 5x + 6

+ x^4 + 5x³ + 7x² + 5x

- x^4 - x²

__________________

+ 5x³ + 6x² + 5x + 6

- 5x³ - 5x

__________________

+ 6x² + 6

- 6x² - 6

__________________

0

Bom! Até aqui concluímos que:

$\displaystyle \mathtt{P(x) = (x^2 + 1) \cdot (x^2 + 5x + 6)}$

Por fim, devemos determinar as raízes do segundo fator (quociente da divisão acima). Segue,

$\\ \displaystyle \mathsf{x^2 + 5x + 6 = 0} \\\\ \mathsf{x^2 + 2x + 3x + 6 = 0} \\\\ \mathsf{x(x + 2) + 3(x + 2) = 0} \\\\ \mathsf{(x + 2) \cdot [x + 3] = 0} \\\\ \mathsf{(x + 2)(x + 3) = 0} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ - 2, - 3 \right \}}}}$

Obs1.:

$\mathtt{i = \sqrt{- 1} \Leftrightarrow i^2 = \left ( \sqrt{- 1} \right )^2 \Leftrightarrow \boxed{\mathtt{i^2 = - 1}}}$

Obs2.:

$\mathtt{(x - i) \cdot (x + i) = x^2 - i^2 = x^2 - (- 1) = \boxed{\mathtt{x^2 + 1}}}$