Question

Sendo f (x,y)=4xy+6y, calcule as derivadas parciais de f em relação a x em relação a y​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que as derivadas parciais de primeira ordem da referida função polinomial são, respectivamente:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{x}(x, y) = 4y\:\:\:}}\end{gathered} }$

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{y}(x, y)= 4x + 6\:\:\:}}\end{gathered} }$

Obtendo as derivadas parciais de uma função polinomial no espaço tridimensional.

Seja a superfície definida pela seguinte função polinomial:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = 4xy + 6y\end{gathered}$

Para calcular as derivadas parciais da referida função devemos levar em consideração pelo menos duas regras de derivações básicas que são:

• Regra da potência.

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = x^{n}\Longrightarrow f'(x) = n\cdot x^{n - 1}\end{gathered}$

• Regra da constante.

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = 0 \Longrightarrow f'(x) = 0\end{gathered}$

Além disso, devemos atentar que estamos calculando as derivadas parciais da função e, para tanto, devemos calcular as derivadas da função em relação a cada uma de suas variáveis. Desse modo, temos:

• Derivada parcial em relação a "x".

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{x}(x, y) = 1\cdot4\cdot x^{1 - 1}\cdot y \end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4\cdot x^{0}\cdot y\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4\cdot 1\cdot y\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4y\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:f_{x}(x, y) = 4y\end{gathered}$

• Derivada parcial em relação a "y".

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{y}(x, y) = 1\cdot4\cdot x\cdot y^{1- 1} + 1\cdot6\cdot y^{1 - 1}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4\cdot x\cdot y^{0} + 6\cdot y^{0}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4\cdot x\cdot 1 + 6\cdot 1\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4x + 6\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:f_{y}(x, y) = 4x + 6\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$