Question

sendo, f(x) = x³+6x²

determine:

a) pela primeira derivada, os intervalos que a curva é crescente e decrescente
b) pela segunda derivada, o ponto de inflexão da curva

Answer 1

Olá, Danielatd.

9) Primeira derivada:

$f'(x) = 3x^2 + 2\cdot6x = 3x^2 + 12x$

Para sabermos onde a curva é crescente ou decrescente, devemos estudar o sinal da parábola acima.

Os zeros desta parábola são:

$3x^2 + 12x = 0 \Leftrightarrow 3x(x + 4) = 0 \Leftrightarrow x=0\text{ ou }x=-4$

A parábola possui concavidade voltada para cima, uma vez que o coeficiente de x² é positivo (igual a 3).

Portanto, quando x está entre as raízes da parábola, -4 e 0, os valores da parábola são negativos, ou seja, a derivada $f'(x)$ é negativa. Quando x está à esquerda do 
-4 (x < -4) ou à direita do 0 (x > 0), a parábola assume valores positivos, ou seja, a derivada $f'(x)$ é positiva.

No intervalo onde $f'(x)>0,$ a curva é crescente. No intervalo onde $f'(x)<0,$ a curva é decrescente.

Assim:

Se $x < -4\text{ ou }x > 0:$ a curva é crescente
Se $-4 < x < 0:$ a curva é decrescente

Nos pontos onde a derivada se anula (x=-4 ou x=0), a curva alterna o seu sentido, podendo ser um mínimo ou um máximo local, a depender do sinal da segunda derivada no ponto.


10) Segunda derivada:

$f"(x) = 2\cdot3x+12=6x+12$

O ponto de inflexão da curva é o ponto onde a segunda derivada se anula, ou seja:

$f"(x)=0\Leftrightarrow 6x+12=0\Leftrightarrow 6x=-12\Leftrightarrow x=-2$