Matemática, perguntado por khaelbebe, 4 meses atrás

sendo f(x) = -x² -3, f'(x) e f'(1) usando a definição de derivada

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que a derivada da nossa função é -2x e se substituirmos o valor de "x" na sua derivada obtemos -2.

Definição de derivada:

A derivada é um dos conceitos mais importantes que existem na matemática. A derivada por definição é obtida a partir do resultado de um limite e é representada pela inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um ponto. A definição de derivada de acordo com Isaac Newton é:

$\sf f'(x)=\lim _{h\to 0} \dfrac{f(x+h)- f(x)}{h}$

Se substituindo nossos valores de acordo com nossa função obtemos um valor indeterminado como infinito ou 0/0 pode ser que não exista tal limite e a seja a função não diferenciável neste ponto.

Assim, levando em consideração a definição de derivada podemos encontrar a solução do nosso problema.

$\rule{10cm}{0.01mm}$

O problema nos pede para derivar a função f(x) = -x ² + 3 e de acordo com sua derivada calculamos o valor de x quando ele é substituído por 1 em sua derivada.

Como no problema só é permitida a definição de derivada e não as regras existentes para ela, a primeira coisa a fazer é derivar a função em relação a "x", caso contrário começamos a fazer isso e substituímos o valor de "x" por algum valor numérico, a primeira coisa que pode acontecer conosco é obtermos um resultado errôneo ou indeterminado.

Veja que na fórmula da derivada por definição temos uma expressão que nem conhecemos, essa é f(x+h), esse seria o valor da função avaliada em x+h.

Se substituirmos o valor de "x" pela expressão "x+h" obtemos como resultado:

$f(x+h) = -(x+h)^2 - 3\\\\ f(x+h) = - (x^2+2 x h+h^2 ) -3\\\\ f(x+h)= -x^2 - 2 x h - h^2 - 3$

Se substituirmos os dados que já conhecemos para obter a derivada da nossa função, obtemos:

$f'(x)=\lim _{h\to 0} \dfrac{-x^2-2 x h - h^2-3- (-x^2-3)}{h} \\\\ f'(x)=\lim _{h\to 0} \dfrac{-x^2-2 x h - h^2-3+x^2+3 }{h}\\\\ f'(x)=\lim _{h\to 0} \dfrac{-2 x h - h^2 }{h}$

Nesta parte do nosso limite podemos aplicar alguma simplificação algébrica, pois se for diretamente o valor de "h" um indeterminado é obtido. Fatorando o denominador temos:

$f'(x)=\lim _{h\to 0} \dfrac{\not\!h\left(-2 x - h\right) }{\not\!h}\\\\ f'(x)=\lim _{h\to 0} - 2 x - h\\\\ f'(x)= -2x -0\\\\ \boxed{\boxed{\sf f'(x)=-2 x}}$

Como já encontramos o valor da derivada, agora é possível substituir qualquer valor real de "x" nessa derivada, pois o problema só pede o valor da derivada quando ela é substituída pelo número 1, devemos obter:

$f'(1)= -2(1) \\\\ \boxed{\boxed{\sf f'(1)= -2}}$