Question

Sendo f(x)= x² - 2x + 1 e fog(x)= 4x² - 8x + 4, calcule g(x)
URGENTISSIMO ALGUEM ME AJUDA PELO AMOR DE DEUS

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Welthon, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar a função g(x), sabendo-se que:

f(x) = x² - 2x + 1
e
f[g(x)] = 4x² - 8x + 4.

ii) Veja: para isso, iremos na função f(x) = x² - 2x + 1 e substituiremos o "x" por g(x). Fazendo isso, teremos que:

f[g(x)] = [g(x)]² - 2*g(x) + 1  --- ou apenas:
f[g(x)] = [g(x)]² - 2g(x) + 1 ---- substituindo-se f[g(x)] por "4x²-8x + 4", temos:

4x² - 8x + 4 = [g(x)]² - 2g(x) + 1 --- para facilitar, vamos fazer g(x) = y. Com isso, ficaremos assim:

4x² - 8x + 4 = y² - 2y + 1 ---- agora vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando assim:

4x² - 8x + 4 - y² + 2y - 1 = 0 ---- vamos ordenar, ficando assim:
4x² - 8x - y² + 2y + 4 - 1 = 0 --- ou apenas:
4x² - 8x - y² + 2y + 3 = 0 ---- veja que ainda podemos fazer assim:
4x² - 8x - (y² - 2y) + 3 = 0 ---- vamos formar os quadrados, notando que deveremos subtrair aqueles valores que serão adicionados por força da formação dos quadrados. Então teremos que:

(2x-2)² - 4 - [(y-1)² - 1] + 3 = 0 ---- retirando-se os colchetes, ficaremos:
(2x-2)² - 4 - (y-1)² + 1 + 3 = 0 ---- ou apenas:
(2x-2)² - 4 - (y-1)² + 4 = 0 ------- ordenando tudo novamente, temos:
(2x-2)² - (y-1)² - 4 + 4 = 0 --- ou apenas:
(2x-2)² - (y-1)² + 0 = 0 --- ou simplesmente:
(2x-2)² - (y-1)² = 0 ---- passando "2x-2)² para o 2º membro, temos:
- (y-1)² = - (2x-2)² ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", temos:
(y-1)² = (2x-2)² ------ isolando (y-1), teremos;
y-1 = √(2x-2)² ------ como (2x-2) está ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz quadrada, ficando:

y - 1 = 2x - 2 ---- passando "-1" para o 2º membro, teremos:
y = 2x - 2 + 1
y = 2x - 1 ----- mas como fizemos g(x) = y, então substituiremos "y" por g(x) e teremos:

g(x) = 2x - 1 <--- Esta é a resposta. Esta é a função g(x) procurada.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver se quando substituirmos o "x" de f(x) = x² - 2x + 1 por g(x), que é igual a "2x-1", iremos encontrar que f[g(x)] será igual mesmo a 4x² - 8x + 4. Vamos ver:
Tem-se que f(x) = x² - 2x + 1, e como já encontramos que g(x) = 2x-1, então f[g(x)] será a mesma coisa que f(2x-1), concorda? . Então vamos encontrar quem é a função f[g(x)], que é a mesma coisa que encontrar f(2x-1). Assim, teremos [substituiremos o "x" de f(x) = x²-2x+1 por "2x-1"]. Assim teremos:

f(2x-1) = (2x-1)² - 2*(2x-1) + 1 ----- desenvolvendo, teremos:
f(2x-1) = 4x²-4x+1 - 4x+2 + 1 ---- reduzindo os termos semelhantes:
f(2x-1) = 4x² - 8x + 4 <--- Olha aí como é verdade, que f[g(x)] é realmente igual a "4x²-8x+4", como está dado no enunciado da questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.