Question

Sendo f(x) = x^{2017} , calcule f'(1) pela definiçao de derivada

Answer 1

Olá!

Seja I um intervalo aberto não vazio tal que $\mathbf{f : I \rightarrow \mathbb{R}}$, onde y = f(x) é uma função de I em $\mathbf{\mathbb{R}}$. Dizemos que a função f(x) é derivável no ponto $\mathbf{1 \in I}$ se existir o limite abaixo:

$\displaystyle \mathbf{f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}}$

Isto posto, segue que:

$\\ \displaystyle \mathsf{f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}} \\\\\\ \mathsf{f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2017} - 1^{2017}}{x - 1}} \\\\\\ \mathsf{f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2017} - 1}{x - 1}} \\\\\\ \mathsf{f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) \cdot (x^{2016} + x^{2015} + x^{2014} + \ ... \ + x^2 + x + 1)}{x - 1}} \\\\\\ \mathsf{f'(1) = \lim_{x \to 1} (x^{2016} + x^{2015} + x^{2014} + \ ... \ + x^2 + x + 1)} \\\\\\ \mathsf{f'(1) = 1^{2016} + 1^{2015} + 1^{2014} + \ ... \ + 1^2 + 1 + 1} \\\\ \mathsf{f'(1) = \underbrace{\mathsf{1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1}}_{2016} + 1} \\\\ \mathsf{f'(1) = 2016 + 1} \\\\ \boxed{\mathsf{f'(1) = 2017}}$