Question

Sendo f(x) = senx , calcule f'(x) pela definição.

Answer 1

• A derivada do senx é cosx.

Para resolver sua questão, devemos saber que a definição de derivadas nada mais que um limite. Dado por:

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

• Aplicando na questão, temos que:

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{sen(x+h) - senx}{h}$

• Lembre-se que:

$sen(a+b) \rightarrow sena \cdot cosb + senb \cdot cosa$

Lembre-se também do limite fundamental:

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{senh}{h} \Leftrightarrow 1$

• Logo, aplicando isso da sua questão, temos que:

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{sen(x+h) - senx}{h}$

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{senx \cdot cosh + senh \cdot cosx - senx}{h}$

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{senx( cosh -1) }{h} + \underbrace{\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{ senh \cdot cosx }{h}}_{= cosx}$

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{senx( cosh -1) }{h} + cosx$

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{senx( cosh -1) \cdot ( cosh + 1 ) }{h\cdot ( cosh + 1)} + cosx$

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{senx( cos^2h -1) }{h\cdot ( cosh + 1)} + cosx$

• Agora, devemos lembrar da relação fundamental da trigonometria. Que diz que o sen²x + cos²x = 1. Logo:

sen²x + cos²x = 1

cos²x = 1 - sen²x

Continuando...

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{senx( -sen^2h + 1 -1) }{h\cdot ( cosh + 1)} + cosx$

$\underbrace{\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{-senx\cdot senh \cdot senh }{h\cdot ( cosh + 1)} }_{ = 0 } + cosx$

$\boxed{\boxed{\green{\bf cosx }}}$

Veja mais sobre:

Derivadas.

$\blue{\square}$ https://brainly.com.br/tarefa/695849

Answer 2

Olá

Explicação passo-a-passo:

Ele já demonstrou mas em poucas palavras eu digo:

✓pela definição, usando a formula

$lim_{h - 0} \frac{}{} \frac{f(x - h) - f(x)}{h}$

derivada de senx é cosx

.