Question

Sendo f(x) > 0 e [f(x)]² + f(x) = 6, para todo x real, tem-se que f(1) é igual a

a- 1
b- 2
c- 4
d- 6
e-9

Answer 1

Resolva a equação do 2º grau que tem f(x) como variável.

$(f(x))^2+f(x)=6 \\ (f(x))^2 + f(x) - 6 = 0 \\ \\ a=1,\,b=1,\,c=-6 \\ \\ \Delta=b^2-4*a*c \\ \Delta=1^2-4*1*(-6) \\ \Delta=1+24 \\ \Delta=25 \\ \\ f(x)= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2*a} \\ \\ f(x)= \frac{-1\pm \sqrt{25}}{2*1} \\ \\ f(x)= \frac{-1\pm5}{2} \\ \\ f(x)' = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ \\ f(x)'' = \frac{-1-5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

f(x) = 2 ou f(x) = -3, como f(x) > 0, a segunda resposta é desconsiderada.

A função não depende da variável, e assumirá valor 2 para qualquer x, inclusive o 1, então f(1) = 2. Alternativa B.

Answer 2

Olá, tudo bem? Algumas considerações:

1) Primeiramente, vamos (re)escrever a equação, em função de f(1), ou seja: [f(1)]² + f(1) = 6;

2) Agora, vamos adotar uma incógnita auxiliar, no caso, vamos chamar "f(1)" de "k", isto é f(1) = k;

3) Posteriormente, vamos resolver a equação quadrática que surgirá, à qual será resolvida por Bhaskara;

4) Um dos valores encontrados será negativo e será descartado, pois foi afirmado que f(x)>0, ou f(1)>0. O outro valor será positivo e será, também, a resposta final à sua questão; assim:

$\left[f(1)\right]^2+f(1)=6\to k^2+k=6\to k^2+k-6=0\,(Bhaskara)\to$

$k=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 1\times (-6)}}{2\times 1}\to k=f(1)=\dfrac{-1\pm 5}{2}\to$

Duas possibilidades:

$f(1)=\dfrac{-1-5}{2}\to f(1)=-3\,\,\text{(N\~ao Serve!!)}\\\\f(1)=\dfrac{-1+5}{2}\to \boxed{f(1)=2}\,\,\text{(alternativa correta: ``b")}$

É isso!! :-)