Question

Sendo f(x)=5(9+x^2)^1/2, a derivada f'(4) vale.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = 5.(9 + x {}^{2} ) {}^{ \frac{1}{2} }$

Para derivar essa função devemos usar a regra da cadeira, portanto vamos nomeá-las:

$f(x) = 5u {}^{ \frac{1}{2} } \: \: e \: \: u = 9 + x {}^{2}$

A regra da cadeira diz que:

$\orange\bullet \frac{df(x)}{dx} = \frac{df(x)}{du} . \frac{du}{dx} \orange\bullet$

Aplicando os dados na relação:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{du} 5u {}^{ \frac{1}{2} } . \frac{d}{dx}(9 + x {}^{2} ) \\ \\ \frac{df(x)}{dx} = 5. \frac{1}{2} u {}^{ \frac{1}{2} - 1}.(2x) \\ \\ \frac{df(x)}{dx} = \frac{10x}{2u {}^{ \frac{1}{2} } }$

Repondo a função que representa "u":

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{10x}{2.(9 + x {}^{2} ) {}^{ \frac{1}{2} } }$

Para finalizar, basta calcular o f'(4), ou seja, basta substituir o "4" no local de x:

$\frac{df(4)}{dx} = \frac{10.4}{2.(9 + 4{}^{2}) {}^{ \frac{1}{2} } } \\ \\ \frac{df(4)}{dx} = \frac{40}{2 \sqrt{25} } \\ \\ \frac{df(4)}{dx} = \frac{40}{10} \\ \\ \boxed{\frac{df(4)}{dx} = 4}$

Espero ter ajudado