Question

sendo f(x) = (5 -2x)⁸ calcule a integral de f(x)

Answer 1

Resposta:

A integral de f(x) resulta numa outra função F(x), a qual se for derivada retorna a ser a função f(x). Então a integração nada mais é do que o processo inverso da derivação.

$\sf\displaystyle\int\sf f(x)dx=\displaystyle\int\sf(5-2x)^8dx$

Fazendo u = 5 - 2x temos:

$\sf \dfrac{du}{dx}=(5-2x)'\implies dx=\dfrac{du}{(5)'-(2x)'}=\dfrac{1}{0-2}du=-\dfrac{1}{2}du$

$\sf\displaystyle\int\sf(5-2x)^8dx=\displaystyle\int\sf u^8\bigg(\!\!-\dfrac{1}{2}\bigg)du$

$\sf\displaystyle\int\sf(5-2x)^8dx=-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\sf u^8du$

Regra da potência:

$\boxed{\sf \displaystyle\int\sf u^vdu=\dfrac{u^{v+1}}{v+1}+C,~v\neq1~e~C\in\mathbb{R}}$

$\sf\displaystyle\int\sf(5-2x)^8dx=-\dfrac{1}{2}\cdot\bigg(\dfrac{u^{8+1}}{8+1}\bigg)+C$

$\sf\displaystyle\int\sf(5-2x)^8dx=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^{9}}{9}+C$

$\sf\displaystyle\int\sf(5-2x)^8dx=-\dfrac{1}{18}u^{9}+C$

Substituindo de volta 5 - 2x = u:

$\red{\boxed{\sf\displaystyle\int\sf(5-2x)^8dx=-\dfrac{1}{18}(5-2x)^{9}+C}}$