sendo F(x)=3x-1 Determine :
. Fof ⁻¹(X)
Nooel:
X^-1 ?
e isso ?
- N Oh X Fica Exatamente Aki ⁻¹(X)
f circulo f^{-1}(x) ?
digo, há diferença entre f ou F? ou é apenas para fazer a composição de uma função com sua inversa
N, Apenas Pra Fazer Ah Composição De Uma Função Cm Sua Inversa
apenas F(1/3x-1 )= 3x-1
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Seja f a função definida da seguinte maneira:
![\mathsf{f\circ f^{-1}(x)=f\big[f^{-1}(x)\big]=x}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmathsf%7Bf%5Ccirc+f%5E%7B-1%7D%28x%29%3Df%5Cbig%5Bf%5E%7B-1%7D%28x%29%5Cbig%5D%3Dx%7D "\mathsf{f\circ f^{-1}(x)=f\big[f^{-1}(x)\big]=x}")
A composição de uma função com sua inversa resulta na função identidade.
Observe o exemplo em questão:
![\mathsf{f\circ f^{-1}(x)=f\big[f^{-1}(x)\big]}\\\\ \mathsf{x=f\big[f^{-1}(x)\big]}\\\\ \mathsf{x=3\,f^{-1}(x)-1}\\\\ \mathsf{3\,f^{-1}(x)=x+1}\\\\ \mathsf{f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{3}\qquad\quad\checkmark}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmathsf%7Bf%5Ccirc+f%5E%7B-1%7D%28x%29%3Df%5Cbig%5Bf%5E%7B-1%7D%28x%29%5Cbig%5D%7D%5C%5C%5C%5C+%5Cmathsf%7Bx%3Df%5Cbig%5Bf%5E%7B-1%7D%28x%29%5Cbig%5D%7D%5C%5C%5C%5C+%5Cmathsf%7Bx%3D3%5C%2Cf%5E%7B-1%7D%28x%29-1%7D%5C%5C%5C%5C+%5Cmathsf%7B3%5C%2Cf%5E%7B-1%7D%28x%29%3Dx%2B1%7D%5C%5C%5C%5C+%5Cmathsf%7Bf%5E%7B-1%7D%28x%29%3D%5Cdfrac%7Bx%2B1%7D%7B3%7D%5Cqquad%5Cquad%5Ccheckmark%7D "\mathsf{f\circ f^{-1}(x)=f\big[f^{-1}(x)\big]}\\\\ \mathsf{x=f\big[f^{-1}(x)\big]}\\\\ \mathsf{x=3\,f^{-1}(x)-1}\\\\ \mathsf{3\,f^{-1}(x)=x+1}\\\\ \mathsf{f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{3}\qquad\quad\checkmark}")
Verificando as composições:
•
![=\mathsf{f\big[f^{-1}(x)\big]}\\\\\\ =\mathsf{3\,f^{-1}(x)-1}\\\\\\ =\mathsf{\diagup\!\!\!\! 3\cdot \left(\dfrac{x+1}{\diagup\!\!\!\! 3}\right)-1}\\\\\\ =\mathsf{x+\diagup\!\!\!\! 1-\diagup\!\!\!\! 1}\\\\ =\mathsf{x\qquad\quad\checkmark}](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cmathsf%7Bf%5Cbig%5Bf%5E%7B-1%7D%28x%29%5Cbig%5D%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C+%3D%5Cmathsf%7B3%5C%2Cf%5E%7B-1%7D%28x%29-1%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C+%3D%5Cmathsf%7B%5Cdiagup%5C%21%5C%21%5C%21%5C%21+3%5Ccdot+%5Cleft%28%5Cdfrac%7Bx%2B1%7D%7B%5Cdiagup%5C%21%5C%21%5C%21%5C%21+3%7D%5Cright%29-1%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C+%3D%5Cmathsf%7Bx%2B%5Cdiagup%5C%21%5C%21%5C%21%5C%21+1-%5Cdiagup%5C%21%5C%21%5C%21%5C%21+1%7D%5C%5C%5C%5C+%3D%5Cmathsf%7Bx%5Cqquad%5Cquad%5Ccheckmark%7D "=\mathsf{f\big[f^{-1}(x)\big]}\\\\\\ =\mathsf{3\,f^{-1}(x)-1}\\\\\\ =\mathsf{\diagup\!\!\!\! 3\cdot \left(\dfrac{x+1}{\diagup\!\!\!\! 3}\right)-1}\\\\\\ =\mathsf{x+\diagup\!\!\!\! 1-\diagup\!\!\!\! 1}\\\\ =\mathsf{x\qquad\quad\checkmark}")
•
![=\mathsf{f^{-1}\big[f(x)\big]}\\\\ =\mathsf{\dfrac{f(x)+1}{3}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{(3x-1)+1}{3}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{3x}{3}}\\\\\\ =\mathsf{x\qquad\quad\checkmark}](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cmathsf%7Bf%5E%7B-1%7D%5Cbig%5Bf%28x%29%5Cbig%5D%7D%5C%5C%5C%5C+%3D%5Cmathsf%7B%5Cdfrac%7Bf%28x%29%2B1%7D%7B3%7D%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C+%3D%5Cmathsf%7B%5Cdfrac%7B%283x-1%29%2B1%7D%7B3%7D%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C+%3D%5Cmathsf%7B%5Cdfrac%7B3x%7D%7B3%7D%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C+%3D%5Cmathsf%7Bx%5Cqquad%5Cquad%5Ccheckmark%7D "=\mathsf{f^{-1}\big[f(x)\big]}\\\\ =\mathsf{\dfrac{f(x)+1}{3}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{(3x-1)+1}{3}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{3x}{3}}\\\\\\ =\mathsf{x\qquad\quad\checkmark}")
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Bons estudos! :-)
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A composição de uma função com sua inversa resulta na função identidade.
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Verificando as composições:
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