Question

Sendo dadas as equações reduzidas de uma reta e de uma circunferência:

y = m x + n

(x – a)² + (y – b)² = r²

Que cálculos devemos utilizar para determinar a posição relativa entre elas?

Pode apresentar exemplos numéricos.

Answer 1

Sejam

. C(a,b), o ponto localizado exatamente no centro da circunferência,
. r, a medida do raio da circunferência; e
. d, a distância do centro da circunferência até a reta dada.

(x - a)² + (y - b)² = r²

Se

. d > r, a distância entre entre o centro da circunferência e a reta é maior que o raio, logo, a reta é exterior à circunferência;

. d = r, a distância entre o centro da circunferência e a reta é igual ao raio da circunferência, isso significa que a reta é tangente à circunferência.

. d < 0, a distância entre o centro da circunferência e a reta é menor que o tamanho do raio, logo, essa reta é secante à circunferência.

Exemplo:

São dadas a reta r, de equação x + y + 4 = 0, e a circunferência de equação x² + y² + 6x-8y=0.

Colocando a equação na forma reduzida, 

x² + 6x + y² - 8y = 0

Método de completar o quadrado.

(x + 3)² - 9 + (y - 4)² - 16 = 0

(x + 3)² + (y - 4)² = 25

C(-3,4) e r = 5

Determinando a distância entre o centro e a reta.

$d= \dfrac{\big|ax_p+by_p+c\big|}{ \sqrt{a^2+b^2} }$

$d = \bigg| \dfrac{1.(-3)+1.(4)-4}{ \sqrt{1^2+1^2} }\bigg|\\\\d= \dfrac{3}{ \sqrt{2} }u.c$

d ≈ 2,12

2,12 < 5

Portanto, r > d e logo, a reta r é secante à circunferência.