Question

Sendo cotgx = 2 e $\pi$ < x < 3 $\pi$/2, nestas condições calcule o valor de cscx - cosx

Answer 1

Temos, pelo enunciado algumas informações sobre o ângulo dado:

$\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$

Ou, em graus,

$180\° < x < 270\°$

Lembrando do círculo trigonométrico, o ângulo deve pertencer ao 3° Quadrante do plano cartesiano, o que implica que:

$sen(x) < 0$

$cos(x) < 0$

Ao mesmo tempo, o que faz sentido o cotangente ser positivo pois:

$cotg(x) = \dfrac{cos(x)}{sen(x)}$

E a divisão de dois números negativos é sempre positivo.

Ok, feitas as observações necessárias, vamos calcular sabendo que:

$cotg(x) = 2$

O que implica que:

$\dfrac{cos(x)}{sen(x} = 2\implies cos(x) = 2sen(x)$

Como cosseno e seno de x são negativos não podemos utilizar um triângulo auxiliar para nos ajudar, mas se definirmos:

$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$

Tal que:

$sen(\theta) = -sen(x) > 0$

$cos(\theta)=-cos(x) > 0$

E por conta disso:

$cotg(\theta) = \dfrac{cos(\theta)}{sen(\theta)} = \dfrac{-cos(x)}{-sen(x)} = \dfrac{cos(x)}{sen(x)} = cotg(x)$

O que é uma verdadeira mão na roda.

E agora construiremos um triângulo cujo ângulo é θ em que cotg(θ) = 2, portanto, podemos construir qualquer triângulo cuja razão entre o cateto adjacente pelo oposto seja 2, pegamos o trivial mostrado na figura.

Assim, podemos encontrar a hipotenusa:

$h^2=1^2+2^2=1+4=5\implies h = \sqrt{5}$

E assim, encontrar seno e cosseno de θ:

$sen(\theta) = \dfrac{cateto\: oposto}{hipotenusa} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$

$cos(\theta) = \dfrac{cateto\: adjacente}{hipotenusa} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

E achamos seno e cosseno de x, pegando pelo que definimos:

$sen(x) = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

$cos(x) = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

E finalmente calculando o que queremos:

$csc(x)-cos(x) = \dfrac{1}{sen(x)}-cos(x) = \dfrac{1}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}-\dfrac{-2\sqrt{5}}{5}$

$csc(x)-cos(x) = -\dfrac{\sqrt{5}}+\dfrac{2\sqrt{5}}{5} = \dfrac{(2\sqrt{5}-5\sqrt{5}}{5} = \dfrac{-3\sqrt{5}}{5}$

E portanto,

$csc(x)-cos(x) = \dfrac{-3\sqrt{5}}{5}$

Observações: Deixei algumas coisas de lado na explicação e irei detalhar mais aqui.

csc(x) é a função cossecante, que retorna o inverso do seno:

$csc(x):=\dfrac{1}{sen(x)}$

O motivo de definimos outro ângulo para que seno e cosseno sejam positivos é puro rigor, pois não existe triângulo em que 1 ângulo interno mede mais de 180°.

Uma propriedade das raízes quando divididas é, para n maior que 0:

$\dfrac{1}{\sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\times \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} = \dfrac{\sqrt{n}}{n}$

Esses extras são puras explicações de passos não feitos explicitamente no decorrer da conta.