Question

Sendo cotg x = 4/3, x que pertence ao 3° quadrante, calcule o calor de cos x - sen x.

Answer 1

Olá Daniely, boa noite!

De acordo com o enunciado, $\mathbf{\cot x = \frac{4}{3}}$.

Mas, sabemos que: $\mathbf{\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}}$.

Então,

$\\ \displaystyle \mathsf{\cot x = \frac{4}{3}} \\\\\\ \mathsf{\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{4}{3}} \\\\\\ \mathsf{\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{4k}{3k}, \qquad \qquad k \in \mathbb{R}}$

 Ou seja, $\mathbf{\cos x = 4k}$ e $\mathbf{\sin x = 3k}$. Desse modo,

$\\ \mathbf{\cos x - \sin x =} \\\\ \mathsf{4k - 3k =} \\\\ \boxed{\mathsf{k}}$

 Por fim, determinamos "k". Veja:

$\\ \boxed{\mathsf{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}} \\\\ \mathsf{(3k)^2 + (4k)^2 = 1} \\\\ \mathsf{9k^2 + 16k^2 = 1} \\\\ \mathsf{25k^2 = 1} \\\\ \mathsf{k^2 = \frac{1}{25}} \\\\ \boxed{\mathsf{k = \pm \frac{1}{5}}}$


 Bom! mas, "k" não pode admitir os dois valores encontrados, afinal, x pertence ao terceiro quadrante. Então, $\mathbf{k = - \frac{1}{5}}$; pois assim, cosseno de x e o seno de x serão menores que zero.

 Logo,

$\\ \mathsf{\cos x - \sin x = k} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\cos x - \sin x = - \frac{1}{5}}}}$