Question

Sendo cos x= 4/5 e 0< x < TT/2 caucule o valor de sen²x -3 vezes senx.

Answer 1

Vamos calcular primeiramente o senx.

 

$<var>sen^{2}x + cos^{2}x = 1</var>$

 

$<var>sen^{2}x + (\frac{4}{5})^{2} = 1</var>$

 

$<var>sen^{2}x + \frac{16}{25} = 1</var>$

 

$<var>sen^{2}x = 1 - \frac{16}{25}</var>$

 

$<var>sen^{2}x = \frac{25}{25} - \frac{16}{25}</var>$

 

$<var>sen^{2}x = \frac{9}{25}</var>$

 

$<var>senx = \pm \sqrt{\frac{9}{25}}</var>$

 

$<var>senx = \pm \frac{3}{5}</var>$

 

Como x está no primeiro quadrante, iremos pegar apenas o postivo:

 

$<var>\boxed{senx = \frac{3}{5}}</var>$

 

Agora é só calcular:

 

$<var>sen^{2}x - 3 \cdot (senx)</var>$

 

$<var>(\frac{3}{5})^{2} - 3 \cdot (\frac{3}{5})</var>$

 

$<var>\frac{9}{25} - \frac{9}{5}</var>$

 

(MMC = 25)

 

$<var>\frac{9}{25} - \frac{45}{25} = \boxed{\boxed{-\frac{36}{25}}}</var>$

 

Answer 2

 

Partimos novamente da relação fundamental:

 

 

$<var>sen ^2x+cos ^2 x =1</var>$ 

 

 

$<var>sen ^2 x= 1- cos ^2 x</var>$ 

 

 

$<var>sen x = \sqrt{1-cos ^2 x}</var>$ 

 

 

Assim a expressão $<var>sen ^2 x - 3 \cdot sen x</var>$ 

 

Pode ser escrita assim:

 

 

$<var>1-cos^2 x-3 \cdot\sqrt{1-cos ^2 x}</var>$ 

 

 

se $<var>cos x=\frac {4}{5}</var>$  então $<var>cos ^2 x = \frac {16}{25}</var>$

Substituindo-se estes valores na expressão, temos

 

 

$<var>1-\frac {16}{25}-3 \cdot \sqrt {1-\frac{16}{25}</var>$ 

 

 

$<var>1-\frac {16}{25}-3\cdot\sqrt{\frac{9}{25}</var>$ 

 

$<var>1-\frac {16}{25}-\frac {9}{5}=-\frac{36}{25}</var>$