Question

sendo cos x = 1/5 e x 1° quadrante,determine:
a] sen x    b] tg x  c] cotg x     d] sec x   e]  cossec  x

Answer 1

Utilizaremos as relações trigonométricas para responder.
Sabemos que
$cosx = \frac{1}{5}$

Para encontrarmos o seno, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria:
$sen^{2}x + cos^{2}x = 1$

$sen^{2}x + (\frac{1}{5})^{2} = 1$

$sen^{2}x = \frac{25}{25} - \frac{1}{25}$

$sen^{2}x = \frac{24}{25}$

$senx = \sqrt{\frac{24}{25}}$

$senx = \frac{\sqrt{24}}{5}$

Agora, fatorando esta raiz:
24 | 2
12 | 2
  6 | 2
  3 | 3
  1

$\sqrt{24} = \sqrt{2.2.2.3} = 2\sqrt{2.3} = 2\sqrt{6}$

Portanto

$senx = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

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Sabendo que a $tgx = \frac{senx}{cosx}$:

$tgx = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}$

$tgx = \frac{2\sqrt{6}}{5} . \frac{5}{1}$

$tgx = \frac{10\sqrt{6}}{5}$

$tgx = 2\sqrt{6}$

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A $cotgx = \frac{cosx}{senx}$, ou também $cotgx = \frac{1}{tgx}$
Vamos utilizar a segunda fórmula para calcular de forma mais rápida:
$cotgx = \frac{1}{2\sqrt{6}}$

Como não podemos ter raizes no denominador, multiplicamos por 1.

$cotgx = \frac{1}{2\sqrt{6}} . \frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}$

$cotgx = \frac{2\sqrt{6}}{4 . 6}$

$cotgx = \frac{2\sqrt{6}}{24}$

$cotgx = \frac{\sqrt{6}}{12}$

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A secante é dada por
$secx = \frac{1}{cosx}$

$secx = \frac{1}{\frac{1}{5}}$

$secx = 1 . \frac{5}{1}$

$secx = 5$


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A cossecante é dada por:
$cossecx = \frac{1}{senx}$

$cossecx = \frac{1}{\frac{2\sqrt{6}}{5}}$

$cossecx = 1 . \frac{5}{2\sqrt{6}}$

$cossecx = \frac{5}{2\sqrt{6}}$

Novamente multiplicamos por um para tirar a raiz do denominador

$cossecx = \frac{5}{2\sqrt{6}} \frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}$

$cossecx = \frac{10\sqrt{6}}{4.6}$

$cossecx = \frac{10\sqrt{6}}{24}$

$cossecx = \frac{5\sqrt{6}}{12}$



Resumo:
$cosx = \frac{1}{5}$

$senx = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$tgx = 2\sqrt{6}$

$cotgx = \frac{\sqrt{6}}{12}$

$secx = 5$

$cossecx = \frac{5\sqrt{6}}{12}$