Question

sendo cos x = 1/3, calcule cos(2x) com cos 3π/2 < x < 2π

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor de cos(2x), sabendo-se que cos(x) = 1/3, com "x" no intervalo: 3π/2 < x < 2π, que é o quarto quadrante, ou seja, é o mesmo que: 270º < x < 360º , que é o 4º quadrante, local em que o cosseno é positivo e o seno é negativo.

Então vamos logo calcular o sen(x) pela primeira relação trigonométrica, que é esta:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ----- substituindo-se cos(x) por "1/3", teremos:
sen²(x) + (1/3)² = 1
sen²(x) + 1/9 = 1
sen²(x) = 1 - 1/9
sen²(x) = (9*1 - 1*1)/9
sen²(x) = (9 - 1)/9
sen²(x) = 8/9
sen(x) = +-√(8/9) ----- ou, o que é a mesma coisa;
sen(x) = +-√(8)/√(9) ----- como √(9) = 3,teremos;
sen(x) = +-√(8)/3 ----- como, no 4º quadrante o seno é negativo, então tomaremos apenas a raiz negativa e igual a:

sen(x) = - √(8)/3 <----- este é o valor de sen(x).

Agora vamos para o que está sendo pedido, que é o valor de cos(2x). :

Veja que cos(2a) = cos²(a) - sen²(a) .
Então teremos que:

cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) ----- substituindo-se cos(x) por "1/3" e sen(x) por "-√(8)/3" , teremos;

cos(2x) = (1/3)² - [-√(8)/3]² ---- desenvolvendo, teremos;
cos(2x) = 1/9 - 8/9 ----- ou, o que é a mesma coisa;
cos(2x) = (1-8)/9
cos(2x) = - 7/9 <----- Pronto. Esta é a resposta. Este é o valor de cos(2x).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.