Question

Sendo cos a= √7/4,
0 < a < PI/2,
Calcule sen (4a)

a) 3√7/32

b) -3√7/32

c) √7/32

d) -√7/32

e) √7/16

Answer 1

Cos(a)=√7/4

sen²x+cos²a=1
sen²a+(√7/4)²=1
sen²a+7/16=1
sen²a=9/16
sena=3/4

sen(2a)=2senacosa
Sen(2a)=2.3/4.√7/4
sen(2a)=3√7/8
Sen(2a+2a)= 2sen(2a).Cos(2a)

Cos(2a)=cos²(a)-sen²(a)
=(√7/4)²-(3/4)²=-2/16=-1/8

Sen(2a)=3√7/8

===>2.3√7/8.-1/8=-3√7/32

Alternativa (B).
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Answer 2

Para resolver essa questão usarei 3 relações trigonométricas:

$\begin{cases}\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\\\sin(a+b)=\sin(a)\cdot\cos(b)+\sin(b)\cdot\cos(a)\\\cos(a+b)=\cos(a)\cdot\cos(b)-\sin(a)\cdot\sin(b)\end{cases}$

No decorrer do desenvolvimento faremos apenas somas de ângulos iguais, duplicando-os, então, podemos manipular as 2 últimas relações que foram mostradas acima. Veja:

$\sin(a+b)=\sin(a)\cdot\cos(b)+\sin(b)\cdot\cos(a)\\\\ \sin(x+x)=\sin(x)\cdot\cos(x)+\sin(x)\cdot\cos(x)\\\\ \sin(2x)=2\cdot\left[\sin(x)\cdot\cos(x)\right]~~\lhd\\\\ \\ \cos(a+b)=\cos a\cdot\cos b-\sin a\cdot\sin b\\\\ \cos(x+x)=\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot\sin x\\\\ \cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x~~\lhd$

O primeiro passo será descobrir o valor do seno de a. Para isso, podemos usar a primeira relação. Veja:

$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\\\\\\ \left(\dfrac{\sqrt7}{4}\right)^2+\sin^2(a)=1\\\\\\ \dfrac{7}{16}+\sin^2(a)=1\\\\\\ \sin^2(a)=1-\dfrac{7}{16}\\\\\\ \sin^2(a)=\dfrac{16}{16}\cdot1-\dfrac{7}{16}\\\\\\ \sin^2(a)=\dfrac{16}{16}-\dfrac{7}{16}\\\\\\ \sin^2(a)=\dfrac{16-7}{16}\\\\\\ \sin^2(a)=\dfrac{9}{16}\\\\\\ \sin(a)=\sqrt{\dfrac{9}{16}}\\\\\\ \sin(a)=\dfrac{3}{4}$

Foram aplicadas regras básicas de exponenciação. Agora, tendo o valor de seno de a, o próximo passo será encontrar o valor do cos e sen de 2a, pois serão usados para encontrar o valor de seno de 2a + 2a. Vamos aos cálculos do cosseno de 2a, utilizando a fórmula manipulada.

$\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\\\\ \cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a\\\\ \cos(2a)=\left(\dfrac{\sqrt7}{4}\right)^2-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\\\\\\ \cos(2a)=\dfrac{7}{16}-\dfrac{9}{16}\\\\\\ \cos(2a)=\dfrac{7-9}{16}\\\\\\ \cos(2a)=\dfrac{-2}{16}\\\\\\ \cos(2a)=\dfrac{-1}{8}$

Descobrindo agora o valor do seno de 2a, teremos

$\sin(2x)=2\cdot\left[\sin(x)\cdot\cos(x)\right]\\\\ \sin(2a)=2\cdot\left[\sin(a)\cdot\cos(a)\right]\\\\\\ \sin(2a)=2\cdot\left[\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{\sqrt7}{4}\right]\\\\\\ \sin(2a)=2\cdot\left[\dfrac{3\sqrt7}{16}\right]\\\\\\ \sin(2a)=2\cdot\left[\dfrac{3\sqrt7}{8\cdot2}\right]\\\\\\ \sin(2a)=\dfrac{3\sqrt7}{8}$

Agora, para finalizar, devemos buscar o valor do seno de 4a. Teremos:

$\sin(2x)=2\cdot\left[\sin(x)\cdot\cos(x)\right]\\\\ \sin(2(2a))=2\cdot\left[\sin(2a)\cdot\cos(2a)\right]\\\\ \sin(4a)=2\cdot\left[\dfrac{3\sqrt7}{8}\cdot\dfrac{-1}{8}\right]\\\\\\ \sin(4a)=2\cdot\left[\dfrac{-3\sqrt7}{64}\right]\\\\\\ \sin(4a)=2\cdot\left[\dfrac{-3\sqrt7}{32\cdot2}\right]\\\\\\ \sin(4a)=\dfrac{-3\sqrt7}{32}~~\checkmark$

Com isso, a resposta correta está na alternativa B.

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Uma parte do processo pode ser simplificado se usarmos as relações manipuladas com o valor do seno de a. Veja:

$\sin(2x)=2\cdot\left[\sin(x)\cdot\cos(x)\right]\\\\ \sin(2(2a))=2\cdot\left[\sin(2a)\cdot\cos(2a)\right]\\\\ \sin(2(2a))=2\cdot\left[\left(2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{\sqrt7}{4}\right)\cdot\left(\left(\dfrac{\sqrt7}{4}\right)^2-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\right)\right]\\\\\\ \sin(2(2a))=2\cdot\left[\left(\dfrac{6\sqrt7}{16}\right)\cdot\left(\dfrac{7}{16}-\dfrac{9}{16}\right)\right]\\\\\\ \sin(2(2a))=2\cdot\left[\left(\dfrac{6\sqrt7}{16}\right)\cdot\left(\dfrac{-2}{16}\right)\right]\\\\\\ \sin(2(2a))=\dfrac{-12\sqrt7}{256}\\\\\\ \sin(2(2a))=\dfrac{8\cdot(-3\sqrt7)}{8\cdot32}\\\\\\ \sin(2(2a))=\dfrac{-3\sqrt7}{32}$

A resposta correta está na alternativa B.