Matemática, perguntado por brunosantanaipda10, 6 meses atrás

sendo C a curva orientada, indicada na figura a seguir, calcule usando o teorema de green e assinale a alternativa correta.

(Print em anexo)

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\boxed{\large-\frac{1}{8}}$

Explicação

Temos a seguinte integral:

$\: \: \: \: \oint_C(x {}^{3} + y {}^{2} + y)dx + xdy \\$

De acordo com o enunciado, devemos utilizar o Teorema de Green que transforma uma integral relativamente complicada em uma integral dupla mais simples. Este Teorema é dado por:

$\bull \: \oint_Cf(x,y)dx + g(x,y)dy = \int\int_D \left( \frac{ \partial g}{ \partial x} - \frac{ \partial f}{ \partial y} \right)dA \\$

A região D em questão expressa na figura do enunciado, é limitada por:

$D = \{(x,y)/0 \leqslant x \leqslant 1, \: x {}^{2} \leqslant y\leqslant 1 \} \\$

A única informação que ainda necessitamos é a derivada parcial das funções f e g. Portanto:

$\: \: \: \: \: \: \: \oint_C \underbrace{(x {}^{3} y {}^{2} + y)} _{f(x,y)}dx +\underbrace{xdy} _{g (x,y)} \\ \\ \left( \frac{ \partial g}{ \partial x} \right) = 1 \: \: e \: \: \left( \frac{ \partial f}{ \partial y} \right) = 2yx {}^{3} + 1$

Agora que temos todos os dados necessários, vamos substituir os dados na integral dupla:

$\: \: \: \: \int _{0}^{1} \int_{x {}^{2} }^{1} (1 -( 2yx {}^{3} + 1)) dA \\ \int _{0}^{1} \int_{x {}^{2} }^{1}( - 2y {}^{ 3} )dA$

Em relação a diferencial de área (dA), devemos lembrar que quando a variação em y possui uma função dependente de x, a diferencial de y vem antes da diferencial de x (dydx).

$\boxed{\int\int_Df(x,y)dA = \int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,y) dydx } \\$

Aplicando esta ideia, ficamos com:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int _{0}^{1} \int_{x {}^{2} }^{1}( - 2x {}^{ 3} y)dydx \\$

Primeira integral:

$- \int_{x {}^{2} }^{1} 2x{}^{ 3}y dy \: \: \to \: \: \left [ - x {}^{3} y {}^{2} \right] \bigg|_{x {}^{2} }^{1} \\ \\ - x {}^{3} .1 {}^{2} + x {}^{3} .(x {}^{2} )^{2} \: \to \: - x {}^{3} + x {}^{7}$

Segunda integral:

$\int _{0}^{1} -x {}^{3} + x {}^{7} dx \: \to \: \: \left[ - \frac{x {}^{4} }{4} + \frac{x {}^{8} }{8} \right] \bigg| _{0}^{1} \\ \\\left[ - \frac{1 {}^{4} }{4} + \frac{1 {}^{8} }{8} \right] - \left[ \frac{0 {}^{4} }{4} + \frac{0 {}^{8} }{8} \right] \\ \\ - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \: \: \to \: \: - \frac{8 + 4}{32} \: \: \to \: \: \frac{ - 4}{32} \: \: \to \: \: \boxed{ - \frac{1}{8} }$