Question

Sendo b, c e h os catetos e a altura de um triângulo retângulo, mostre que $\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$.

Answer 1

Veja que $\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{b^2+c^2}{b^2c^2}$.

Por outro lado, $ah=bc$, assim, $a^2h^2=b^2c^2$.

Pelo Teorema de Pitágoras, $b^2+c^2=a^2$, logo:

$\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{b^2+c^2}{b^2c^2}=\dfrac{a^2}{a^2h^2}=\dfrac{1}{h^2}$.

Portanto, $\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{1}{h^2}$.