Question

Sendo alfa a medida de um ângulo agudo, determine L no sistema:
sen (alfa)= 5/13
sen (2 alfa)= 5/L

Answer 1

Temos que:

$\sf sen( \alpha ) = \frac{5}{13} \: \: e \: \: sen(2 \alpha ) = \frac{5}{L}$

Pela trigonometria sabemos que o sen(2x) é representado pela seguinte expressão:

$\sf sen(2 \alpha ) = 2.sen( \alpha ).cos( \alpha )$

Sabebdo disso, vamos substituir essa expressão no local de sen(2a):

$\sf 2.sen( \alpha ).cos( \alpha ) = \frac{5}{L}$

A questão fornece o valor de sen(a), então:

$\sf 2. \frac{5}{13}.cos( \alpha ) = \frac{5}{L} \longrightarrow \frac{10}{13} .cos( \alpha ) = \frac{5}{L} \\ \\ \sf cos( \alpha ) = \frac{ \frac{5}{L} }{ \frac{10}{13} } \longrightarrow cos( \alpha ) = \frac{65}{10 L }$

Para finalizar a questão é necessário encontrar o cosseno de alfa, para isso usaremos a relação fundamental da trigonometria:

$\sf sen {}^{2} ( \alpha ) + cos {}^{2} ( \alpha ) = 1$

Substituindo os dados:

$\sf \left( \frac{5}{13} \right) {}^{2} + cos {}^{2} ( \alpha ) = 1\longrightarrow \sf \frac{25}{169} + cos {}^{2} (\alpha ) = 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf cos {}^{2} ( \alpha ) = 1 - \frac{ 25}{169} \longrightarrow cos {}^{2} ( \alpha ) = \frac{169 - 25}{169} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf cos {}^{2} ( \alpha ) = \frac{144}{169} \longrightarrow cos( \alpha ) = \sqrt{ \frac{144}{169} } \longrightarrow cos( \alpha ) = \pm \frac{12}{13}$

Substituindo os possíveis valores do cosseno:

$\sf \frac{12}{13} = \frac{65}{10 L } \longrightarrow 120L = 845\longrightarrow L = \frac{845}{120 } \\ \\ \sf L = \frac{169}{24} \: \: ou \: \: L = - \frac{169}{24}$

Espero ter ajudado