Question

Sendo a5+a10=12 e a9+a15=24 calcule
a: a1
b:R

Answer 1

Olá.

Para resolver essa questão, usarei o Termo Geral da PA:

aₙ = a₁ (n - 1)r

 

Vamos desenvolver o que foi dado:

a₅ + a₁₀ = 12

(a₁ + 4r) + (a₁ + 9r) = 12

a₁ + 4r + a₁ + 9r = 12

2a₁ + 13r = 12

 

a₉ + a₁₅ = 24

(a₁ + 8r) + (a₁ + 14r) = 24

a₁ + 8r + a₁ + 14r = 24

2a₁ + 22r = 24

 

Se 24 = 12 * 2, logo:

 

2a₁ + 22r = 2 * (2a₁ + 13r)

2a₁ + 22r = 4a₁ + 26r

2a₁ - 4a₁ = 26r - 22r

- 2a₁ = 4r

 

Usando e separando um valor para r na primeira equação, teremos:

2a₁ + 13r = 12

13r = (12 - 2a₁)

r = (12 - 2a₁)/13

 

Substituindo na última expressão, teremos:

$\mathsf{- 2a_1=4r}\\\\ \mathsf{- 2a_1=4\left(\dfrac{12-2a_1}{13}\right)}\\\\ \mathsf{- 2a_1=\dfrac{48-8a_1}{13}}\\\\ \mathsf{- 2a_1\cdot13=48-8a_1}\\\\ \mathsf{- 26a_1=48-8a_1}\\\\ \mathsf{- 26a_1+8a_1=48}\\\\ \mathsf{-18a_1=48}\\\\ \boxed{\mathsf{a_1=\dfrac{48}{-18}=-\dfrac{48}{18}}}$

 

Sabendo o valor de 2a₁, basta substituir em uma das equações. Por conveniência, escolho a menor. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{-2a_1=4r}\\\\ \mathsf{-2\left(-\dfrac{48}{18}\right)=4r}\\\\ \mathsf{\dfrac{96}{18}=4r}\\\\ \mathsf{96=4r\cdot18}\\\\ \mathsf{96=72r}\\\\ \boxed{\mathsf{\dfrac{96}{72}=r}}$

 

Os valores de a₁ e r são:

$\mathsf{\begin{array}{l}\mathsf{a_1=\dfrac{-48}{18}=2,\overline{666}}\\\\\\\mathsf{r=\dfrac{96}{72}=1,\overline{333}}\end{array}}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$