Question

Sendo a um número real, considere a matriz A = [1 a 0 -1]. Então, A²⁰¹⁷ é igual a
​

Answer 1

Conteúdo:

➡️ Elevar matrizes.

☃ Temos de começar com o básico, inicialmente vamos descobrir quanto é A², para determinar um ponto de partida, onde pode ser definida:

$\huge {\boxed {\sf \bf A^2=A\centerdot A}}$

❄ Para isso, lembra das multiplicação matrizes? Não? Sim?

Ok, mesmo assim vamos relembrar.

Vemos que a matriz é 2x2, podendo multiplicar ambas, onde é dada por:

$\huge {\boxed {\gray {\sf \left(\begin{array}{cc}\sf C_{11} & \sf C_{12} & \sf C_{21}&\sf C_{22}\end{array}\right) }}}$

✍ Ou seja, utilizando como exemplo, C₁₁ primeira linha da Matriz 1 multiplicada pela primeira coluna da matriz 2.

Sabendo disso vamos calcular A²:

$\huge {\boxed {\green {\sf C_{11} = 1\cdot 1+ a\cdot 0 = 1 }}}$

$\huge {\boxed {\purple {\sf C_{12} = 1\cdot a+ a\cdot \left (-1 \right ) = 0 }}}$

$\huge {\boxed {\red {\sf C_{21} = 0\cdot 1+ \left (-1 \right ) \cdot 0 = 0 }}}$

$\huge {\boxed {\blue {\sf C_{22} = 0\cdot a+ \left (-1 \right ) \cdot \left ( -1 \right) = 1 }}}$

☘ Resultando na Matriz Identidade:

$\huge {\boxed { \bf \left(\begin{array}{cc}\sf 1&\sf 0& \sf 0\sf &\sf 1\end{array}\right) }}$

☂ Sabendo disso podemos encontrar chaves importantes para a resolução:

Mas quanto vale A³?

Vamos ver:

$\huge {\boxed {\sf \bf A^3 = A\cdot A\cdot A}}$

☀️Sabemos que:

$\huge {\boxed {\sf \bf A^3 = I \cdot A}}$

✈ Sendo a letra I representado pela Matriz Identidade.

Mas também sabemos que a multiplicação da Matriz Identidade pela Matriz A, ficará:

$\huge {\boxed {\sf \bf A^3 = A }}$

⭐ Outra questão, sabendo de A³ e A², quanto vale A⁴?

Utilizando os mesmos métodos de A³:

$\huge {\boxed {\sf \bf \begin{cases} \sf \bf A^4= A\centerdot A \centerdot A \centerdot A\\ \sf \bf A^4 = I\centerdot A \centerdot A \\ \sf \bf A^4 = A \centerdot A\\ \sf \bf A^4 = I \end{cases} }}$

❐ Percebeu alguma coisa parecida?

Os expoentes ímpares.. os expoentes pares..... AAAAAAA, aí tá a solução!

Agora parando para pensar no expoente 2017 e na Matriz A ele resulta em:

$\huge {\boxed {\gray {\sf A^{2017} =A }}}$

☣ Logo a tão esperada resposta é:

✍ Alternativa B)

☢ Beleza? Tem dúvidas? Escreva nos comentários!

Answer 2

A matriz A elevada ao expoente 2017 resulta na própria matriz A, o que torna correta a alternativa b).

Para resolvermos esse exercício, temos que aprender como realizar multiplicação de matrizes.

Quando desejamos multiplicar duas matrizes, é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Assim, o resultado será uma matriz com o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.

Com isso, para a matriz A =  $\left[\begin{array}{cc}1&a\\0&-1\end{array}\right]$, temos que a multiplicação dela por ela mesma tem o seguinte algoritmo:

Devemos multiplicar o primeiro elemento da linha da primeira matriz pelo primeiro elemento da coluna da segunda matriz. Assim, vamos avançando na linha da primeira matriz e na coluna da segunda, e somamos os elementos. Com isso, obtemos:

A x A = $\left[\begin{array}{cc}1&a\\0&-1\end{array}\right]$ x $\left[\begin{array}{cc}1&a\\0&-1\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 1*1 + a*0&1*a + (-1)*(-1)\\0*1 + -1*0&0*a + (-1)*(-1)\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Multiplicando A² x A, temos:

A² x A = $\left[\begin{array}{cc}1&a\\0&-1\end{array}\right]$ x  $\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$ = $\left(\begin{matrix}1*1+a*0 & 1*0+a*1 \\0*1+\left(-1\right)*0 & 0*0+\left(-1\right)*1\end{matrix}\right)$ = $\left[\begin{array}{cc}1&a\\0&-1\end{array}\right]$.

Com isso, obtemos novamente a matriz A.

Assim, para uma multiplicação em um número par de vezes, iremos obter a matriz identidade  $\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$.

Já para um número ímpar de vezes, iremos obter novamente a matriz A =  $\left[\begin{array}{cc}1&a\\0&-1\end{array}\right]$.

Com isso, observando o expoente do exercício, temos o expoente 2017, que é ímpar.

Portanto, podemos concluir que a matriz A elevada ao expoente 2017 resulta na própria matriz A, o que torna correta a alternativa b).

Para aprender mais, acesse

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