Question

Sendo a um número positivo, sen(x)=√(a-2) e cos(x)=a-1, qual o valor de a?

Answer 1

Sabe-se que a seguinte relação trigonométrica é verdadeira:

$sen^2x + cos^2x = 1$

Conhecendo esse fato, podemos aplicá-lo ao seno e ao cosseno em questão:

$\sqrt{a-2}^2 + (a-1)^2 = 1\\\\a - 2 + a^2 - 2a + 1 = 1\\\\a^2 - a - 2 = 0$

Agora é só aplicar a fórmula de Bhaskara à equação:

$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (-2)}}{2}\\\\a = \frac{1\pm\sqrt9}{2}\\\\a = \frac{1\pm3}{2}\\\\a_1 = \frac{4}{2} = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_2 = -\frac{2}{2} = -1$

Ficamos com 2 valores possíveis para a. Mas será que os dois se encaixam no que temos?

Não! Perceba que, se adotarmos que a = -1, então o valor do seno seria $\sqrt{-3}$, o que é impossível. Já para a = 2, o seno é 0, o que não é problema.

Logo, o valor de a é 2.

Answer 2

sen²(x)+cos²(x)=1

Logo

(a-2)+(a-1)²=1

Que é igual a

a²-a-2=0

As duas soluções dessa equação de segundo grau são

a= ( 1 ± √(1+4*2))/2 = 0,5 ± 1,5

a'= 2

a''= -1

Porém a= -1 não é uma resposta valida pois se não o seno ficaria

Sen(x)=√(-1-2)=√(-3)=i*√3

Que é um valor imaginário ("i" é a unidade imaginária). e o seno(x) e Cos (x)sempre tem como resposta um valor real se x é real, além disso essas funções sempre resultam em algo entre -1 e 1. E a única raíz que respeita isso é a=2. Logo a=2