Question

Sendo a e b números reais, tais que
0 < a < π/2 , 0 < b < π/2, senA =3/5 e senB = 5/13, podemos afirmar que sem(a+b) é igual a :
A)64/65
B)56/65
C)44/65
D)8/65
E)4/9

Answer 1

A fórmula do seno da soma é:

$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a.$

Neste caso, são dados os valores dos senos dos ângulos, pelo que temos de determinar os valores dos respetivos cossenos. Da fórmula fundamental da trigonometria obtém-se:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \iff \cos^2 x = 1-\sin^2 x \iff \cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}.$

Para $0 < x < \frac{\pi}{2}$, temos necessariamente $\cos x > 0$, pelo que, na igualdade anterior, escolhemos a solução positiva. Assim, vem:

$\cos a = \sqrt{1-\sin^2 a} = \sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1-\dfrac{9}{25}} = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}.$

$\cos b = \sqrt{1-\sin^2 b} = \sqrt{1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1-\dfrac{25}{169}} = \sqrt{\dfrac{144}{169}} = \dfrac{12}{13}.$

Podemos agora simplesmente aplicar a fórmula:

$\sin(a+b) = \dfrac{3}{5}\times\dfrac{12}{13}+\dfrac{5}{13}\times\dfrac{4}{5} = \dfrac{36+20}{65} = \dfrac{56}{65}.$

Resposta: opção B).